§1. Предварительные сведения из курса дифференциального исчисления

Для дальнейшего изложения понадобятся некоторые понятия дифференциального исчисления.

1.1. Функция. Функцией называют однозначную зависимость одной переменной от другой переменной . Переменную называют показателем, или зависимой, а – фактором, или независимой переменной. Допустимые значения фактора называют областью определения функции и обозначают символом . Допустимые значения показателя называют областью значений функции и обозначают символом .

Например, для функции имеем: , а для функции .

Сложной функцией называется функция , определяемая формулой

где – внешняя функция, а – внутренняя функция, обладающие свойством .

Например, сложной является функция . Говорят, что она является композицией внешней функции и внутренней функции .

Если каждому значению показателя функции x соответствует только одно значение фактора со свойством F ) = означает, что существует функция x = (y), y

функцией. В частности, о функция существует, если исходная функция является монотонной, т. е. строго возрастает или убывает в своей области определения.

1.2. Непрерывная функция. Функция называется непрерывной в точке , если

Если это условие выполняется в каждой точке , то функция называется непрерывной на множестве . Другими словами, – непрерывная функция, если малому "колебанию" ∆x фактора x соответствует малое колебание (приращение) показателя y. В частности, непрерывными являются все элементарные функции в своей естественной области определения. Отметим следующие, важные в дальнейшем, свойства таких функций.

Свойство 1. Сумма, разность, произведение, частное двух непрерывных функций – непрерывная функция в области, где определены упомянутые алгебраические операции.

Свойство 2. Сложная функция непрерывна, если непрерывны внешняя и внутренняя функции f и g.

Например, непрерывными являются различные композиции элементарных функций.

Свойство 3. Непрерывная функция , заданная на отрезке

[a, b], допускает непрерывное продолжение во всякий интервал (A, B), содержащий [a, b], т. е. существует непрерывная функция G(x), x (A, B) такая, что G(x) ≡ F(x), x [a, b].

Свойство 4. Непрерывная функция заданная на отрезке

[a, b], достигает своего наибольшего значения M и наименьшего значения m в некоторых точках отрезка [a, b], т. е.

Свойство 5. Если у непрерывной функции x [a, b] существует обратная функция, то она тоже является непрерывной.

1.3. Производная. Пусть функция задана на интервале (a, b). Её производной, обозначаемой символом называют скорость изменения функции , а именно функцию

при условии существования предела в соотношении (1) при любом . Здесь – приращение фактора, – прираще ние показателя y при фиксированном значении фактора . Если в соотношении (1) выполняется дополнительное условие рассматриваемый предел называют правой, соответственно левой производной функции и используют для них обозначения (x).

Например, для функция , x R в точке x = 0 имеем: (0) = 1.

Дифференциалом функции называют произведение

, (2)

где – дифференциал функции . Из формул (1) и (2) вытекает, что приближенно (знак ) при , близких к 0

. (3)

1.4. Производная сложной функции. Пусть -- сложная функция. Тогда

т. е. производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции . Например,

1.5. Формула Лагранжа. Пусть - непрерывная функция, заданная на отрезке [A, B] и имеющая конечную производную на интервале (A, B). Тогда для любой пары точек a, b такой, что A ≤ a < b ≤ B, найдется точка c ∈ (a, b), обладающая свойством

Замечание. Функция, имеющая конечную производную на интервале (A,B), непрерывна всюду на (A,B).

Производные элементарных функций.

, (1/x) , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

,

Основные свойства производных

,

,

,

.