5.1. Обобщенный закон Гука и энергия упругого деформирования

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную связь между всеми компонентами тензора деформаций и тензора напряжений одновременно. Главная особенность такой связи заключается в масштабе изменения компонент тензора деформаций и компонент тензора напряжений. На практике для самых упругих пород с достаточно хорошим приближением линейность сохраняется при одновременных изменениях напряжений и относительных деформаций от нуля до нескольких десятков мегапаскаль и от нуля до нескольких тысячных долей единицы, соответственно.

Следует сделать одно важное замечание относительно применимости обобщенного закона Гука к горным породам. Использование математического аппарата для исследования напряженно-деформированного состояния, строго говоря, справедливо для сплошных сред. Поэтому для горных пород должно оговариваться условие, при котором наличие несплошности (пористость, трещиноватость) не приводит к заметному влиянию на линейность связи между напряжениями и деформациями. Обычно это условие сводится к установлению минимального объема горной породы, для которой удовлетворительно выполняется закон Гука.

Общий вид закона Гука легко получить из следующих соображений. Поскольку свойству упругости соответствует линейная связь двух тензоров 2-го ранга, то совокупность упругих констант должна образовывать тензор 4-го ранга (два индекса соответствуют искомой величине, по двум индексам производится суммирование). Поэтому можно записать следующие выражения

или , (5.1)

где - тензор модулей упругости, - тензор модулей податливости. Выражения (5.1) являются компактной математической записью обобщенного закона Гука.

Для того чтобы получить значение напряжения, например, - надо вычислить следующую сумму

.

Легко видеть, что тензор модулей упругости и тензор модулей податливости содержат по 81 компоненте (3⁴ = 81). Симметричность тензоров напряжений и деформаций приводит к тому, что количество независимых модулей упругости (податливости) сокращается до 36, так как остается 6 уравнений, включающих по 6 слагаемых. Поэтому тензор модулей упругости (податливости) является симметричным относительно перестановки индексов в парах , модулей и т.е. , , , .

5.1.1. Представление обобщенного закона Гука в матричном виде

Уравнения (5.1) обычно записывают в матричном виде согласно следующим схемам перехода и обозначениям

• ; ;

• для - и пары индексов - и в соответствии с таблицей

  Тензорные обозначения ( )				,	,	,
  Матричные обозначения ( )	1	2	3	4	5	6

• для модулей податливости вводятся множители по правилам: , если - и равны 1, 2 или 3; , если или - , или равны 4, 5 или 6; , если и - и равны 4, 5 или 6.

В соответствии с правилами матричных обозначений обобщенный закон Гука записывается в виде

и ( ). (5.2)

В развернутом виде уравнения (5.2) примут вид

   и     . (5.3)

Важно заметить, что модули - и , представленные в виде квадратных таблиц в (5.3), на самом деле тензорами 2-го ранга не являются, так как они связывают два тензора, представленные в матричном виде. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, столбцы и квадратные матрицы в (5.3) заключены в круглые скобки. Из анализа уравнения (5.3) следует, что матрица модулей упругости равна обратной матрице модулей податливости, т.е. .

Легко убедиться в необходимости множителей для модулей податливости. Например, запишем в развернутом виде суммы для -

(в тензорном виде),

(в матричном виде). Откуда после сокращения на множитель и упорядочения слагаемых получим

,

что соответствует (5.2) и (5.3).