1.4.3. Установление корреляционных связей между физико-механическими параметрами породы

Как правило, изучение физико-механических свойств горных пород основывается на комплексном определении ряда параметров, начиная с петрографических характеристик, неразрушающих испытаний (при определении ряда плотностных свойств, акустических свойств и др.) и заканчивая разрушающими испытаниями (при определении прочностных свойств, ряда горно-технологических параметров и др.). При этом возникает естественная потребность в упорядочении полученных экспериментальных данных.

Соответствующее упорядочение можно осуществить путем установления функциональной или корреляционной связи, в которой в качестве аргументов удобно выбрать параметры в малой степени чувствительные к неоднородности породы и измеряемые с небольшой погрешностью, а в качестве значений – параметры, характеризующиеся большими значениями коэффициента вариации. Например, если требуется установить корреляцию между совокупностью значений пористости и совокупностью значений пределов прочности, измеренных для серии образцов, то в качестве аргумента функциональной связи разумно выбрать пористость, а значения – предел прочность.

В ряде случаев из физических соображений или теоретического анализа удается установить явный вид функциональной связи между рассматриваемыми параметрами и поэтому остается только определить постоянные коэффициенты, входящие в выражение для связи, используя численные значения параметров. По сути, в этом состоит основная задача физики горных пород. Однако это не всегда возможно сделать, как правило, из-за отсутствия достаточного объема информации об изучаемых объектах.

В общем случае данную проблему можно сформулировать следующим образом. Требуется установить функциональную связь с минимальным количеством постоянных (подгоночных) параметров, обеспечивающую наилучшее согласие между выборками, относящимися к различным физико-механическим параметрам.

Очевидно, что наиболее надежными будут функциональные связи между выборками для двух параметров.

Практическим средством решения сформулированной проблемы является многомерная минимизация с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Сущность МНК заключается в следующем. Допустим, что имеются выборки объема - двух параметров, один из которых будет аргументом строящейся функциональной связи – , а другой ее значением – . Функциональную связь обозначим в виде функции - , где - – подгоночные параметры. В соответствии с МНК требуется минимизировать величину среднеквадратичного уклонения, определяемого согласно формуле

. (1.12)

Следует заметить, что в качестве минимизируемой величины можно выбрать сумму разностей - . Однако, как доказывается в математической статистике, среднеквадратичное уклонение является более точной оценкой функциональной связи подобно тому, как среднее квадратичное отклонение является оценкой точности среднего значения.

Задача МНК сводится к нахождению частных производных вида - . В итоге для определения параметров - прейдем к системе уравнений вида

. (1.13)

В частности, если в качестве функции - выбрать полином вида

, (1.14)

где - значения интервала вещественной оси, включающего значения аргумента - , то с помощью (1.13) получим систему уравнений для определения параметров -

. (1.14)

На практике в качестве выражения для корреляционной связи наибольшее распространение имеет полином 1-ой степени, т.е.

. (1.15)

Получим в явном виде формулы для определения постоянных коэффициентов - , . Для этого перепишем систему уравнений (1.14) в матричном виде

, (1.16)

где , , - средние значения.

Решением системы уравнений (1.16) будут следующие формулы

; . (1.17)

Выражения (1.17) используются, когда между исследуемыми физико-механическими параметрами достоверно установлена линейная связь.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что в результате исследования прочностных характеристик грунта согласно ГОСТ 12248-96 были получены выборки:  МПа, МПа.

В качестве выражения для корреляционной связи между предельными нормальными - и касательными - напряжениями выберем уравнение прямой пропорциональной зависимости - (закон Кулона). Тогда  = 3,5 МПа,  = 12,25 МПа²,  = 4,103 МПа,  = 15,167 МПа²,  = 17,067 МПа². Согласно формулам (11)  = 0,86 МПа,  = 0,93.

К ачественно разброс экспериментальных данных относительно линейной зависимости можно оценить с помощью графика (рис. 1.16), количественно, вычислив величину среднеквадратичного уклонения (  = 0,45 МПа).

В ряде случаев функциональную нелинейную связь между физико-механическими параметрами удается свести к линейной зависимости, выполнив соответствующие преобразования векторов - и - .

В исследовательских целях, когда предполагается функциональная линейная связь между двумя физико-механическими параметрами, целесообразно воспользоваться формулами для параметров - , выраженными через коэффициент линейной регрессии, вводимый в математической статистике. Выражение для коэффициента линейной регрессии с использованием обозначений, принятых для средних величин в (1.16), будет следующего вида

. (1.18)

Тогда для параметров - (полинома 1-ой степени) получим формулы

,    . (1.19)

Коэффициент линейной регрессии лежит в интервале –1…1. Если  = 0, то линейная связь между физико-механическими параметрами отсутствует. При  = 1 – линейная связь функциональна. Для некоторых других значений коэффициента линейной регрессии говорят: при  = 0,5 – теснота линейной связи удовлетворительна; при  = 0,8…0,85 – хорошая теснота связи. Для вышеприведенного примера коэффициент линейной регрессии -  = 0,963, следовательно, линейная связь между предельными касательными и нормальными напряжениями практически функциональна.

В общем случае математическая статистика предоставляет методы установления корреляционных связей между несколькими физико-механическими параметрами. Однако не следует ожидать высокой надежности корреляционных связей одновременно для нескольких параметров, так как точность определения их для горных пород в большинстве случаев мала.

1⁾ В частности, к мономинеральным породам (рудам) могут относиться также породы, в которых содержание основного минерала превышает установленное нормативным документом значение.

1⁾ Обратим внимание, что на рис.1.12 угол падения представлен в линейном масштабе, хотя возможно применение полярной сетки с масштабом для угла падения, соответствующим проекции радиуса на плоскость экватора (нелинейный масштаб).

1⁾ В материаловедении надежность устанавливается, как правило, на уровне не хуже 95%.

2⁾ Стьюдент – псевдоним В. Госсета, который первым использовал это распределение в математической статистике.

29