Язык программирования ЛИСП / lisp0035

Шаг 35. Как писать рекурсивные определения     На этом шаге мы рассмотрим правила написания рекурсивных определений.

    Имеется три разных стиля рекурсивных определений; мы назовем их восходящей, нисходящей рекурсиями и рекурсией по дереву [1,с.72-73].     Нисходящая рекурсия последовательно разбивает данную задачу на все более простые, пока не доходит до терминальной ситуации.     Под терминальным случаем мы будем понимать ситуацию, когда не требуется продолжения рекурсии. В этом случае значение определяемой функции получается без использования обращения к ней (применительно к другим значениям аргумента), характерного для рекурсивных определений.     Только после этого она начинает строить ответ, а промежуточные результаты передаются обратно - вызывающим функциям.     Приведем вариант вычисления функции факториал с помощью этой техники: (DEFUN FACT1 (LAMBDA (N) (COND ( (EQ N 1) 1 ) ( T (TIMES N (FACT1 (DIFFERENCE N 1))) )))) Еще один пример нисходящей рекурсии дает нам функция для копирования списка: (DEFUN DCOPY (LAMBDA (LST) (COND ( (NULL LST) NIL ) ( T (CONS (CAR LST) (DCOPY (CDR LST))) ))))     В восходящей рекурсии промежуточные результаты вычисляются на каждой стадии рекурсии, так что ответ строится постепенно и передается в виде параметра рабочей памяти до тех пор, пока не будет достигнута терминальная ситуация. К этому времени ответ уже готов, и нужно только передать его вызывающей функции верхнего уровня.     Мы можем записать восходящую версию функции FAC следующим образом: (DEFUN FAC (LAMBDA (N) (FACT N 1) )) ; --------------------- (DEFUN FACT (LAMBDA (N W) (COND ( (EQ N 0) W ) ( T (FACT (- N 1) (* N W)) )))) Текст этой функции можно взять здесь.     Здесь W - параметр рабочей памяти, применяемый для формирования результатов. Так как первоначальная функция имеет только один параметр, приходится определить вспомогательную функцию FACT с дополнительным параметром и при первом вызове функции FACT этот параметр надо инициализировать (придать ему начальное значение).     Вычисление можно производить путем подстановки: FAC (3) = FACT (3,1) = FACT (2,3*1) = FACT (1,2*3*1) = = FACT (0,1*2*3*1) =1*2*3*1 = 6     Мы видим, что результат формируется здесь в параметре рабочей памяти и замечаем, что его значение известно на каждом шаге, хотя мы и записываем его в виде выражения вроде 2*3*1. В противоположность этому нисходящая версия FAC дает промежуточные результаты в виде 3*2*FACT1(1), и мы не можем вычислить это значение, пока не знаем FACT1(1).     Приведем еще один пример восходящей рекурсии для "обращения" списка: (DEFUN UCOPY (LAMBDA (LST) (COP LST NIL))) ; ---------------------- (DEFUN COP (LAMBDA (LST W) (COND ( (NULL LST) W ) ( T (COP (CDR LST) (CONS (CAR LST) W)) )))) Текст этой функции можно взять здесь.     Рекурсия по дереву (параллельная рекурсия) - это еще один тип рекурсии, который приходится использовать даже в "обычном" программировании с помощью присваиваний. Она используется для обхода древовидной структуры, т.е. списка, элементы которого могут сами быть списками. С параллельной рекурсией и примерами ее использования вы познакомитесь в соответствующем разделе.     Процесс написания рекурсивного определения функции распадается на отдельные шаги. Эти определения кажутся очевидными впоследствии, но их не всегда легко придумать. Трудность, по-видимому, в том, что мы должны повторно вызывать определяемую функцию в тот момент, когда еще не знаем, будет ли работать определение функции, которое мы пишем.     Здесь нужно допустить, что мы уже имеем функцию, которая правильно работает для аргумента, равного N-1 или (CDR LST) и построить определение, которое будет работать для следующего случая (т.е. для числа N или списка LST).     Рецепты (!) для написания определений функций в этих трех случаях таковы [1, с.78-80]. Нисходящая рекурсия (хвостовая рекурсия). Напишите определение для терминального случая, например, для числа 0 или пустого списка NIL. Далее предположите, что у вас есть определение функции, работающее для случая, наиболее близкого к терминальному (т.е. для N-1 или хвоста списка). Попытайтесь (!) применить его, чтобы построить выражение, которое годится для следующего случая при подъеме вверх. Соедините результаты пунктов 1 и 2 в условное выражение. Тщательно тестируйте его на примерах. Восходящая рекурсия. Придумайте (!) функцию, имеющую один или несколько параметров типа рабочей памяти, в одном из которых будет строиться результат. Для терминального случая положите значение функции равным параметру типа рабочей памяти. Для нетерминального случая повторно вызовите функцию с новыми значениями параметров, выраженными через старые. Вызовите функцию с начальными значениями параметров типа рабочей памяти. Тестируйте определение функции на примерах и "подгоняйте", если это нужно, начальные значения. Рекурсия по дереву. Примените предикат (ATOM LST) и, если потребуется (NULL LST), чтобы распознать терминальный случай. В общем случае предположите, что ваша функция правильно работает для (CAR LST) и (CDR LST), и напишите выражение для комбинации этих значений.     В силу рецептурного характера наших советов, в разделах, посвященных рекурсии мы приводим большое количество примеров. Желательно, чтобы читатель выполнил написанные программы на компьютере и попытался их улучшить. Это один из самых известных способов изучения рекурсивного программирования!

(1)Грэй П. Логика, алгебра и базы данных / Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1989. - 368 с.

    Со следующего шага мы начинаем рассматривать примеры использования рекурсии.

Предыдущий шаг Содержание Следующий шаг