Лекция 15. Исследование зависимостей Статистические методы выявления взаимосвязей

Огромное море данных окружает нас: часть из них лож­ные, многие имеют второстепенный характер и лишь неко­торые существенны для понимания окружающего мира и наших действий в нем.

В различных задачах управления часто возникает необ­ходимость обобщить полученную в процессе исследования информацию с целью построения аналитических зависимо­стей, пригодных для использования в имитационных и про­гнозных моделях.

Статистика — это наука, которая позволяет увидеть за­кономерности в хаосе случайных данных, выделить в них устойчивые связи и определить наши действия с тем, чтобы увеличить долю правильно принятых решений.

Как все математические науки, статистика родилась из потребностей практики: подобно тому как древние египтя­не после разливов Нила вынуждены были заново измерять свои участки и для этого разработали начала геометрии, так и мы, окруженные хаотическими данными, вынуждены анализировать их. Конечно, мы стремимся интуитивно су­зить пределы случайного, максимально сократить рамки неопределенности, но сделать полностью это редко когда удается. По-видимому, случайность входит как важный эле­мент в мироздание.

Применяя статистические методы, мы стремимся найти закономерности в случайных данных и воспользоваться найденными закономерностями.

Все процессы и явления, окружающие нас, в той или иной степени взаимосвязаны друг с другом. Так, например, уровень производительности труда работников предприятия будет зависеть от совершенства применяемого оборудова­ния, степени совершенства технологии, организации про­изводства труда и управления и других самых различных факторов.

При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обусловливающих измене­ния других признаков.

Определение 15.1. Признаками-факторами принято на­зывать независимые признаки, на которые можно оказать какое-либо воздействие, управлять ими. Обычно такие признаки рассматриваются в конкретной задаче как не­зависимые, или влияющие переменные х_х, х₂, х₃, х_п.

Определение 15.2. Признаки, которые являются резуль­татом влияния этих факторов, называют результатив­ными.

Например, при изучении зависимости между производи­тельностью труда рабочих и энерговооруженностью их тру­да уровень производительности труда является результативным признаком, а энерговооруженность труда рабочих — факторным признаком, которым мы можем управлять. На­пример, можно повысить энерговооруженность и воздей­ствовать тем самым на производительность труда, если та­кая связь существует.

С помощью статистических методов изучения зависимо­стей можно установить, как проявляется теоретически воз­можная связь в данных конкретных условиях. Статистика не только отвечает на вопрос о реальном существовании намеченной теоретическим анализом связи, но дает количе­ственную характеристику этой зависимости. Зная характер зависимости одного явления от других, можно объяснить причины и размер изменений в явлении, а также планиро­вать необходимые мероприятия для дальнейшего его изме­нения.

Простейшей формой зависимости между переменными является линейная зависимость, и проверка наличия такой зависимости, оценивание ее параметров являются одним из важнейших направлений приложения математической ста­тистики.

Вопросы о линейной связи двух переменных могут быть поставлены следующим образом:

1. Связаны ли между собой линейно переменные Хи Y?

2. Какова формула связи переменных X и У?

В первом случае переменные X и Y выступают как равноправные, здесь нет независимой и зависимой перемен­ных. Во втором случае речь может идти о нахождении за­висимости одной переменной от другой, например, об оце­нивании формулы ŷ(х)=а₀+а_хх (где а₀ и а₁ — неизвест­ные коэффициенты такой зависимости). В этом случае переменная X является независимой (объясняющей), а пе­ременная Y — зависимой (объясняемой). Вопрос о нахож­дении формулы зависимости можно ставить после положи­тельного ответа на вопрос о существовании такой зависи­мости, но эти два вопроса можно решать и одновременно.

Для ответа на поставленные вопросы существуют специ­альные статистические методы и, соответственно, показате­ли, значения которых определенным образом (и с опреде­ленной вероятностью) свидетельствуют о наличии или от­сутствии линейной связи между переменными. В первом случае это коэффициент корреляции величин X и Y, во вто­ром случае — коэффициенты линейной регрессии а₀ и a₁ их стандартные ошибки и t-статистики, по значениям которых проверяется гипотеза об отсутствии связи величин Хи Y.