22.4. Полиномиальные уравнения

Полиномиальные уравнения решаются решателем полиномиальных уравнений, в котором реализуются разные методы решения таких уравнений. Обе части уравнения проверяются, чтобы установить, являются ли они полиномами от переменной X.Если проверка успешна, то уравнение с помощью предиката polinomial_normal_formпреобразуется в полиномиальную нормальную форму и производится обращение к предикату solve_polynomial_equation,входящему в решатель полиномиальных уравнений:

solve_equation(Lhs=Rhs,X,Solution) 

polynomial (Lhs, X),

polynomial (Rhs, X),

polynomial_normal_form(Lhs-Rhs, X, Poly),

solve_polynomial_equation (Poly, X, Solution).

Полиномиальная нормальная форма представляет собой список пар вида (A,N),гдеA- коэффициент при X,который должен быть не равен нулю. Пары сортируются в порядке строгого убывания N,для каждой степени существует не больше одной пары. Например, список[(1,2), (-3,1), (2,0)]представляет собой нормальную форму полиномах² _-Зх + 2.Старший член полинома является головой списка. Классические алгоритмы обработки полиномов применимы для решения уравнений в нормальной форме. Сведение уравнения к полиномиальной нормальной форме производится в два этапа:

polynomial_normal_..form(Polynomial, X, Normal Form) 

polynomial_form (Polynomial, X, PolyForm),

remove_zero_terms (PolyForm, NormalForm).

Предикат polynomial_form (X, Polynomial, PolyForm)используется для декомпозиции полинома. Отсортированный список PolyFormсостоит из пар коэффициент-степень, среди которых могут быть и пары с нулевыми коэффициентами.

Для многих полиномиальных методов удобно полагать отсутствие в полиномиальной форме термов с нулевыми коэффициентами. Поэтому вторым этапом сведения к полиномиальной нормальной форме должно быть удаление тех термов, коэффициенты которых равны нулю. Удаление осуществляется простой рекурсивной процедурой remove_zero__terms.

Программа для предиката polynomial_formнепосредственно отражает программу предиката polynomial.Для каждого предложения, используемого в процессе разбора. есть соответствующее предложение, дающее результирующий полином. Например, полиномиальной формой термахбудет [(1,n)]. Эта форма выражается предложением

polynomial_form (X  N, X, [(1, N)]).

Для сохранения полиномиальной формы используются рекурсивные предложения polynomial form,манипулирующие полиномами. Рассмотрим предложение

polynomal_form(Polyl+Poly2, X, PolyForm)

polynomial_form (Poly1, X, PolyForm1),

polynomial_form(Poly2, X, PolyForm2),

add_polynomials (PolyForm1, PolyForm2, PolyForm).

Процедура add_polynomialsреализует алгоритм сложения полиномов, прсдставленных в нормальной форме. Соответствующая программа это непосредственный список возможностей, которые могут появиться.

add_polynomials ([ ], Poly, Poly).

add_polynomials ([P | Poly], [ ], [P | Poly]).

add_polynomials ([(Ai, Ni) | Polyl], [(Aj, Nj) | Poly2], [(Ai,Ni)| Poly]) 

Ni > Nj, add_polynomials (Polyl, [(Aj,Nj) | Poly2], Poly).

add_polynomials([(Ai, N) | Polyl],[(Aj, N)[Poly2],[(A, N)| Poly]) 

Ni =:= Nj, A:=Ai+Aj, add_polynomials(Polyl, Poly 2, Poly).

add_polynomials ([(Ai, Ni) | Polyl], [(Aj, Nj) | Poly2], [(Aj, Nj) | Poly]) 

Ni < Nj, add_polynomials ([(Ai, Ni) | Polyl], Poly2, Poly).

Подобным образом процедуры subtract_polynomials, multiply_polynomialsи binomialпредставляют алгоритмы вычитания, умножения и биномиального расширения полиномов, заданных в нормальной форме. Получаемые результаты также являются полиномами в нормальной форме. Вспомогательный предикат multiply_single(Polyl, Monomial, Poly2)умножает полином на одночлен (C, N)и в качестве результата образует новый полином.

Как только полином представлен в нормальной форме, вызывается решатель алгебраических уравнений. Структура решателя алгебраических уравнений совпадает со структурой общего решателя уравнений. В решателе уравнений реализован набор методов решения, которые поочередно испытываются с целью определения, какой из них применим для решения данного уравнения. Предикат solve_polynomial_equationаналогичен предикату solve_equation.

Второе уравнение на рис. 22.1является квадратным уравнением и может быть решено с помощью стандартной формулы. Решатель уравнений использует тот же метод, что и человек. Чтобы убедиться, подходит ли данный метод для решения уравнения, с помощью предиката quadraticпроверяется, имеет ли старший член полинома вторую степень. Поскольку нулевые члены исключаются при приведении полинома к нормальной форме, посредством предиката padтакие члены, если необходимо, добавляются. Следующие два шага хорошо знакомы: вычисление дискриминанта уравнения и в соответствии со значением дискриминанта определение корней уравнения. Вновь наличие нескольких решений требует учета соответствующих возможностей:

solve._polynomial_.equalion (Poly, X, Solution) 

quadratic (Poly),

pad (Poly, [(A,2),(B,1),(C,0)]),

discriminant(А, В, С, Discriminant),

root(X,А, В, С, Discriminant, Solution).

discriminant (A, B, C, D)  D:=(B*В-4*A*С).

root(X,А, В, С,0, X = -В/(2 *А)).

root (X,А, В, С, D, X) = (-В+sqrt (D))/(2 *А)) D > 0.

root(X,A,B,C,D,X)=(-В-sqrt(D))/(2*A))  D > 0.

Другие предложения solve_polynomial_equationпредставляют в программе отдельные методы для решения разных алгебраических уравнений. Так, линейные уравнения решаются с помощью простой формулы. В комплексе PRESSкубические уравнения решаются в предположении знания одного из корней факторизацией и сведением к квадратному уравнению. Другие приемы распознают очевидные множители или замаскированные квадратные уравнения с отсутствующими куби­ческим и линейным членами.