3.7. Изокоста (прямая равных издержек). Правило минимизации издержек фирмы.

В соответствии с производственной функцией фирма стремится произвести максимальный объем продукции. Но существуют ограничения: цены факторов производства: – цена труда, – цена капитала заданы рынком, – общие издержки фирмы. Фирма расходует все имеющиеся в ее распоряжении средства на покупку труда в количестве и капитала в количестве . Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид: или . Это уравнение изокосты (isocost line) (рис. 19а). Ее наклон отрицателен и равен соотношению цен факторов производства.

Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость.

При перемещении изокосты 2 в положение линии 3 цена капитала растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы.

Фирма может производить продукцию в точке в объеме , или в точке в объеме . Выпуск - максимально возможный. В точке изокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону изокванты. Наклон изокванты измеряется , а наклон изокосты . Приравняв наклоны изокосты и изокванты, получим условие минимизации издержек: или . В данном случае будут минимальными средние общие издержки фирмы, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска.

3.8. Производство с двумя переменными факторами.

Теорию фирмы можно изложить либо с помощью предельных категорий (классический подход), либо с помощью линейного программирования. Эти подходы являются взаимодополняющими.

Используя предельные категории, рассмотрим деятельность фирмы в коротком периоде, когда ее организационная структура остается стабильной. Производится один продукт с помощью двух факторов, производственная функция . В условиях чистой конкуренции фирма покупает факторы производства по ценам и , и продает продукт по цене . Задача состоит в том, чтобы найти такую комбинацию и , при которой получают максимум прибыли:

Необходимое условие максимума прибыли - равенство первых частных производных нулю: . Отсюда находим:

; . (3.3)

В полученных условиях представляет предельный продукт труда, а - предельный продукт капитала в денежной форме. Из условий максимизации прибыли следует, что фирма увеличивает объем производства до тех пор, пока предельный продукт каждого фактора в денежной форме станет равным цене соответствующего фактора, т.е. предельным издержкам на ресурс. Последние равны цене соответствующего ресурса.

Из уравнений (3.3) определяем расходуемые количества и как функции цен и . Запишем необходимое условие максимума прибыли в виде:

или .

Оно означает, что для достижения максимума прибыли необходимо, чтобы предельная норма технологического замещения факторов MRTS была равна заданному соотношению их цен.

Достаточное условие максимизации прибыли заключается в том, что для любого отклонения, при котором (или ) дифференциал второго порядка .

. (3.4)

Положение фирмы, характеризуемое уравнениями (3.3) и (3.4), достигается в два этапа. Во-первых, если наряду с ценами и задан объем выпуска , которые представляют собой ограничения в деятельности фирмы, тогда величины затрачиваемых факторов и определяются таким образом, чтобы минимизировать издержки производства при условии .

Решение может быть таким. Из выразим как функцию и заданного . Тогда . Подставляем в функцию издержек , и она становится функцией от одной переменной , т.е. . Приравниваем к нулю первую производную и находим K. Убедимся, что найденное действительно является минимальной величиной затрат капитала. Зная , из находим . Но этот метод не всегда применим. Не всегда бывает легко с помощью производственной функции выразить одну переменную через другую, например через . В таких случаях пользуются методом множителей Лагранжа.

Запишем условия максимизации прибыли, если продукт реализуется на рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции предложения ресурсов и спроса на продукцию фирмы.

Функция спроса имеет однородную форму , где , - цена продукта, - ценовая эластичность спроса. Если , то цена продукта становится постоянной величиной и имеем условия совершенной конкуренции. Обратная функция спроса , где . Валовой доход фирмы . Если , то валовой доход является постоянным, не зависящим от и . Это значит, что объем производства является заранее заданной величиной , а, следовательно, и цена в выражении ( ) также постоянна.

Функции предложения труда , капитала также однородны, и , и - эластичности предложения факторов производства, и , соответственно, ставка заработной платы и процент на единицу капитала.

Определим и , соответствующие предложению труда и капитала при названных условиях. Тогда , где . Затраты труда и капитала равны: .

Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли:

, где - множитель Лагранжа.

Необходимые условия максимизации прибыли:

Последнее уравнение добавляется, если является переменной величиной. Из системы уравнений находим:

Если , то

Если , то

Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции:

Полученные выражения отражают характер зависимости заработной платы и ставки процента от рыночных параметров – цены товара, ценовой эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации прибыли, находим значения , , и .

Достаточное условие максимизации прибыли <0. Если оно выполняется при найденных значениях , , и , то фирма получает максимальную прибыль.

Задания для практических занятий

1. Определить отдачу от масштаба для следующих производственных функций: .

2. Выпуск продукта задается формулой , где - количество единственного используемого ресурса. Определить предельный продукт ресурса для .

3. Дана производственная функция . Найти предельный продукт труда (предельную производительность труда ), предельный продукт капитала (предельную производительность капитала ) при . Определите предельную норму замещения капитала трудом ( ) при расходе ресурсов .

4. Какого типа производственная функция характеризует производственный процесс, в котором эластичность замещения факторов производства неизменна?

5. Определить эластичность замены одного фактора производства другим для производственных функций: .

6. Технология производства продукта в 2000 году воплощалась в производственной функции , в 2001 году – в функции . Как следует охарактеризовать технический прогресс в таком случае? При и ? При и ?

7. Траектория увеличения выпуска стала более крутой. Причиной этого может быть

• технический прогресс, расходующий капитал и экономящий труд;

• повышение цены капитала, так как потребление капитала увеличивается;

• повышение цены труда, так как труд замещается капиталом.

5. Если в результате технологических нововведений выпуск при неизменном количестве ресурсов возрастает, и снижаются, причем снижается быстрее, чем , то

- нововведения технически неэффективны;

• средний продукт труда снижается;

• средний продукт капитала снижается;

• имеет место капиталоинтенсивный технический прогресс. Какое утверждение верно?

5. Компания использует только эффективные способы производства. Недавно она внесла изменения в процесс производства, в результате которых увеличилась, хотя выпуск не изменился. Это означает, что капиталоемкость производства понизилась, возросла, не изменилась; могла снизиться, могла возрасти, но изменилась; капиталоемкость продукции понизилась. Найдите верный ответ.

10. Наборы ресурсов (11,6), (8,8) имеют стоимость 40 руб. каждый. Определить цены труда , капитала и наклон изокосты.

11. Дано: производственная функция фирмы , издержки составляют руб., цена труда руб., цена капитала руб. Найти равновесный набор ресурсов, при котором издержки фирмы на единицу продукции минимальны.

12. Производственная функция фирмы . Цена труда , цена капитала , цена продукта . Определить значения и , при которых прибыль фирмы максимальна.