Лабораторная работа № 16 Определение параметров цифрового регулятора линейных и нелинейных систем методом пространства состояний

Цель работы

1. Расчет линейной и нелинейной системы регулирования методом пространства состояний.

2. Аналитическое определение переходных процессов фазовых координат дискретных систем регулирования.

3. Аналитическое определение параметров цифрового регулятора, обеспечивающего оптимальный переходной процесс в линейных и нелинейных системах регулирования.

4. Исследование цифровых систем регулирования.

Теоретическое обоснование

Фундаментальная матрица определяется аналитическим путем через матрицу состояния А

. (16.1)

В свою очередь матрица состояния А определяется через передаточную функцию или схему моделирования. Для варианта на рис. 16.1 представлена схема моделирования с учетом переменного коэффициента k.

Рис. 16.1. Схема в переменных состояния, иллюстрирующие пример варианта 1

Из схемы моделирования определяем расширенный вектор состояния

и систему дифференциальных уравнений

из которых записывается матрица состояния А

.

Введя единичную матрицу Is, определяем матрицу [Is – A]

.

Рассмотрим нелинейную систему управления, схема которой приведена на рис. 16.2.

N – нелинейный элемент, D(z) – цифровой регулятор,

W(s) – передаточная функция линейной части)

Рис. 16.2. Структурная схема цифровой системы

Характеристики нелинейной системы зависят от типа нелинейности и места ее включения. В данной работе рассмотрена нелинейность типа «насыщение». Для решения этой задачи применяют метод переменного коэффициента усиления. Цифровой регулятор и нелинейный элемент рассматривают как усилительный элемент, обладающий переменным коэффициентом усиления k_П, зависящим от критерия, параметров нелинейности и порядкового номера интервала дискретности

,

где k_П – коэффициент усиления участка D – N.

При расчете нелинейных систем, так же как и при расчете линейных, по вектору начального состояния системы V(0) и матрице G определяется вектор V(0⁺) = GV(0).

Через фундаментальную матрицу Ф(Т), которая на каждом интервале дискретности будет зависеть от коэффициента k, определяется расширенный вектор состояния. D конце первого интервала дискретности

V(T) = Ф₀(T)V(0⁺),

где Ф₀(T) – фундаментальная матрица, являющаяся функцией коэффициента k₀.

В линейных системах величина k зависит от критерия оптимальности. В нелинейных системах этот коэффициент зависит еще и от характеристики нелинейности. Если сигнал m(nT⁺) выводит выходную величину нелинейного элемента в зону насыщения, то k следует выбирать таким образом, чтобы обеспечить максимум выходного напряжения, то есть работать при максимальном значении линейного участка, а если лежит на линейном участке, то методика выбора коэффициента k_П совпадает с определением этого коэффициента для линейных систем.

Таким образом, по величине входного сигнала m(nT⁺) и типу нелинейности определяют значение m₂(0⁺). Если выходная величина лежит в зоне насыщения, то k₀ определяют как

,

где m_2max(0⁺) – максимальное значение выхода нелинейного блока.

Для n = 1 имеем следующую систему уравнений

Если больше максимального выхода нелинейного элемента, то определяется по выражению

,

где .

Далее определяем по выражению

.

Определение коэффициентов усиления по приведенной выше методике производят до тех пор, пока не выйдут из зоны насыщения. При работе на линейном участке следует определять коэффициенты усиления по методике линейных систем. Расчет заканчивается при t  kT_П, если выполняются условия

x₁(kT_П) = r₁(kT_П) и x₂(kT_П) = x₃(kT_П) = … = x_р(kT_П) = 0,

где x₁(kT_П), x₂(kT_П), …, x_р(kT_П) – координаты системы в k-момент прерывания. Приведенная методика позволяет определить дискретные значения сигналов m(nT⁺) и m₂(nT⁺), по которым затем можно определить z-изображения для определения передаточной функции на входе и выходе дискретного регулятора. Так как известен тип нелинейности (нелинейность безинерционная), то по выходному сигналу m₂(nT⁺) следует графически или аналитически определить сигналы в точке m₁(nT⁺), а затем передаточную функцию цифрового регулятора найти как отношение изображения выходной величины m₁(z) к входной величине m(z). Z- изображения функций m₁(z) и m(z) определяют через решетчатые функции m₁(nT⁺) и m(nT⁺).