Лабораторная работа № 13 Исследование устойчивости дискретных систем на плоскостях p, z и w

Цель работы

1. Изучение особенностей представления частотных характеристик дискретных систем на плоскостях P, Z, W.

2. Определение АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ дискретных систем на плоскости Р и анализ устойчивости исследуемых систем по этим характеристикам.

3. Определение АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ дискретных систем на плоскости Z и анализ устойчивости исследуемых систем по этим характеристикам;

4. Определение АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ дискретных систем на плоскости W и анализ устойчивости исследуемых систем по этим характеристикам.

Теоретическое обоснование

Устойчивость дискретных систем может определяться на плоскостях P, Z, W. На плоскости Р передаточная функция дискретной системы (звена) W*(j) определяется через непрерывную передаточную функцию W(j)

, (13.1)

где Т_П – интервал дискретности, n – натуральный ряд чисел, или через дискретную импульсную переходную функцию K(nТ_П)

. (13.2)

Например, если сигнал на входе импульсного элемента имеет вид

,

то передаточная функция определяется выражением

(13.3)

Используя выражение (13.1) можно определить АФХ дискретной системы в Control System Toolbox и в пакете Simulink. Для этого создается виртуальная модель системы регулирования, заданная экстраполятором и передаточной функцией системы, и виртуальная модель устройства по определению коэффициентов Фурье выходного сигнала исследуемой системы на частотах ,  + _П,  + 2_П, …; – _П,  – 2_П, …

В пакете Simulink от тестового генератора на исследуемую систему подаются гармонические колебания с частотой , а система регулирования, за счет работы дискретного элемента, генерирует высокочастотные составляющие, определяемые комбинацией частот  и _П, согласно выражению (13.1). Так как модуль АФХ непрерывной части дискретных систем уменьшается с увеличением частоты, то при вычислении выражения (13.1) используют конечное число слагаемых (лабораторная работа № 12).

При изменении  определяют проекции векторов АФХ непрерывных и дискретных системы. При изменении _П и, соответственно, Т_П оценивают вклад высокочастотных составляющих в АФХ дискретных систем. Сравнивая результаты расчетов непрерывных и дискретных систем можно оценить влияние экстраполяторов на частотные характеристики.

Переход к плоскости Z осуществляется следующим соотношением

. (13.4)

Из выражения видно, что отрезок мнимой оси от 0 до _П/2 плоскости Р преобразуется в верхнюю полуокружность плоскости Z. Действительно, при  = 0 z = 1, при  = _П/4 z = e ^j/2 = j, при  = _П/2 z = –1. Аналогично можно показать, что при изменении  от 0 до –_П/2 отрезок мнимой оси плоскости Р преобразуется в нижнюю полуокружность плоскости Z.

Если выражение (13.4) применить к дискретной передаточной функции, то получим z-передаточную функцию. Например, применяя соотношение (13.4) к выражению (13.3) получим z-передаточную функцию

.

Используя z-передаточную функцию разомкнутой системы, можно на плоскости Z годограф Найквиста и по нему судить об устойчивости системы в замкнутом состоянии. Формулировка критерия Найквиста на Z плоскости такая же, как и на Р плоскости: «Замкнутая система, полученная из разомкнутой устойчивой системы, будет устойчива, если, при изменении z от 1 до –1 по верхней окружности единичного радиуса, не охватит точку с координатами (–1, j0).

Алгоритм построения годографа Найквиста на плоскости Z следующий:

– задают текущую частоту  и по выражению (13.4) определяют z;

– вычисленное значение z подставляют в z-передаточную функцию и определяют составляющие вектора W(jz).

Если АФХ непрерывной системы имеет интегрирующее звено, то в z-передаточной функции знаменателя появляется сомножитель (z – 1) и при z = = 1 годограф Найквиста на плоскости Z уходит в бесконечность. Кроме того, при z = 1 появляется неоднозначность в формулировке критерия устойчивости: можно полагать, что корни находятся внутри окружности единичного радиуса (система устойчива), или полагать, что корни находятся вне окружности единичного радиуса (система неустойчива).

Критерий Найквиста сформулирован для непрерывных систем, устойчивых в разомкнутом состоянии. Поэтому, с целью упрощения изложения и для придания одинакового подхода к исследованию непрерывных и дискретных систем, принимаем, что при сомножителе (z – 1) корень характеристического уравнения разомкнутой системы находится внутри окружности единичного радиуса, то есть разомкнутая система устойчива.

Каждой точке плоскости , определяющей круговую частоту, можно поставить в соответствие точки плоскости определяющие псевдочастоту, обозначаемую jw.

Частотные характеристики непрерывных систем можно построить в логарифмическом масштабе асимптотическим методом. Этот же метод можно использовать при исследовании дискретных систем, используя билинейное преобразование

. (13.5)

С помощью выражения (13.5) внутренняя площадь окружности единичного радиуса плоскости Z преобразуется в левую часть плоскости W. Таким образом, на плоскости W для устойчивой дискретной системы все корни должны находиться слева от мнимой оси, что совпадает с соответствующим свойством непрерывных систем.

Решение уравнения (13.5) относительно переменной w приводит к

. (13.6)

Учитывая соотношение (13.4) перепишем выражение (13.6) в виде

. (13.7)

Несмотря на то, что выражение (13.7) получено из выражения (13.6) путем эквивалентных преобразований, между выражениями (13.6) и (13.7) существуют различия. Выражением (13.6) отображается площадь окружности единичного радиуса Z плоскости на левую полуплоскость плоскости W. Выражением (13.7) последовательно отображается мнимая ось плоскости Р на линию окружности плоскости Z, а затем, линия окружности плоскости , отображается на мнимую ось плоскости W. Таким образом, выражение (13.7) является частным случаем выражения (13.6), то есть в выражении (13.6) левая часть – это комплексная переменная, а в выражении (13.7) – чисто мнимая переменная. Это отличие приводит к тому, что точки на плоскости Р, которые определяют круговую частоту , связаны с точками мнимой оси плоскости W, которые, по аналогии с непрерывными системами, будут определять псевдочастоту jw.

Анализ выражения (13.7) показывает, что полученная в результате преобразований псевдочастота jw не имеет размерности, что затрудняет анализ частотных характеристик дискретных систем. Для достижения идентичности в построении частоты характеристик непрерывных и дискретных систем введем размерный множитель 2/Т_П. Причем, величина этого множителя выбрана такой, чтобы в области низких частот логарифмические характеристики непрерывных и дискретных систем совпадали

, (13.8)

где  – абсолютная псевдочастота с размерностью 1/с; 2/Т_П – размерный множитель, позволяющий на низких частотах получать частотные характе-ристики непрерывных систем, построенных в функции , совпадающими с частотными характеристиками дискретных систем, построенных в функции .

Используя выражение (13.7) и (13.8) можно определить связь между абсолютной псевдочастотой  и относительной псевдочастотой w

. (13.9)

Подставим значение относительной псевдочастоты в выражение (13.5) и получим

. (13.10)

С помощью выражения (13.10) осуществляется переход от z-передаточных функций к выражениям для построения логарифмических характеристик дискретных систем в функции абсолютной псевдочастоты.

Описание работы

Определим в пакете CST комплексный коэффициент передачи дискрет-ной системы на частотах ,  + _П,  + 2_П, …; – _П,  – 2_П, …, позволяющий построить вектор выходного сигнала дискретной системы и оценить вклад, вносимый экстраполятором и высокочастотными составляю-щими.

%Определение проекций АФХ непрерывной системы

k1=1.5; %Коэффициент усиления

h=tf(k1,[1,3,0]) %Передаточная функция непрерывной системы

figure(1) %Логарифмические частотные

bode(h),grid on %характеристики непрерывной системы

figure(2)

nyquist(h),grid on %АФХ непрерывной системы

w=0.5; %Тестовая частота

hn=k1/(j*w)/(j*w+3) %АФХ непрерывной части дискретной системы

%Определение проекций АФХ дискретной системы на частоте

%дискретизации с учетом влияния частотных свойств экстраполятора

Tp=0.2; %Период частоты дискретизации

h01=k1/(j*w) %АФХ сомножителя непрерывной части системы

h02=1/(j*w+3) %АФХ сомножителя непрерывной части системы

h03=(1-exp(-Tp*j*w))/(j*w)/Tp %АФХ экстраполятора

W0=h03*h01*h02 %Проекции вектора АФХ дискретной системы

%на тестовой частоте

%Определение проекций АФХ дискретной системы на частоте

%w+wp с учетом влияния частотных свойств экстраполятора

wp=2*pi/Tp %Частота дискретизации

h11p=k1/(j*(w+wp)) %АФХ непрерывной части системы на

h21p=1/(j*(w+wp)+3) %частоте w+wp

h31p=(1-exp(-Tp*j*(w+wp)))/(j*(w+wp)) %АФХ экстраполятора

W01p=h31p*h11p*h21p/Tp %Проекции вектора АФХ дискретной

%системы на частоте w+wp

WS1p=W0+W01p %Проекции вектора АФХ дискретной

%системы на частоте w с учетом w+wp

%Определение проекций АФХ дискретной системы на частоте

%w-wp с учетом влияния частотных свойств экстраполятора

h11o=k1/(j*(w-wp)) %АФХ непрерывной части системы на

h21o=1/(j*(w-wp)+3) %частоте w-wp

h31o=(1-exp(-Tp*j*(w-wp)))/(j*(w-wp)) %АФХ экстраполятора

W01o=h31o*h11o*h21o/Tp %Проекции вектора АФХ дискретной

%системы на частоте w-wp

WS1o=W0+W01o %Проекции вектора АФХ дискретной

%системы на частоте w с учетом w-wp.

На рис.12.2 представлена структурная схема устройства для определе-ния проекций векторов АФХ дискретной системы на действительную и мнимую оси. В состав подсистем (SubSystem, SubSystem1, SubSystem2) входят экстраполятор и непрерывная система.

Детальное описание работы и расчета параметров блоков, зависящих от частоты тестовых сигналов, приведено в лабораторной работе № 12. В данной лабораторной работе рассмотрим только особенности определения параметров перестраиваемых блоков, связанных с высокочастотными составляющими, определяемые выражением (13.1).

Блок SineWave задает тестовую частоту , а блоки Constant задают постоянные, определяемые выражением

,

где * – частоты, на которых определяются коэффициенты Фурье. Для основной гармоники * = , а для более высоких гармоник справедливы следующие соотношения: * =  + _П, * =  + 2_П, * =  – _П, * =  – 2_П, и т.д. Блоки N-Sample Enable и AND определяют время интегрирования, которое связано с номером определяемой гармоники соотношением

.

В конце эксперимента регистрирующие приборы определяют проекции векторов каждой гармоники и их алгебраическую сумму. При определении вектора АФХ дискретной системы при новых значениях  необходимо переопределить все параметры перестраиваемых блоков.

Рассмотрим пример: требуется определить устойчивость системы замкнутой системы регулирования, если известна передаточная функция разомкнутой системы

. (13.11)

Что бы избежать неопределенности, перейдем от выражения (13.11) к несколько измененной передаточной функции разомкнутой системы

. (13.12)

В этом случае корни характеристического уравнения находятся внутри окружности единичного радиуса и разомкнутая система устойчива.

Построим годограф Найквиста на плоскости Z

w=0.1; %Круговая частота

wp=10; %Частота дискретизации

z=exp(j*w*2*pi/wp) %Значения переменной z соответствующие

%заданным значениям круговой частоты

Wz=z/(z-0.999)/(z+0.5) %Исходные данные для построения

%годографа Найквиста на плоскости Z.

Определим последовательность операций в пакете MatLab при построении логарифмических характеристик дискретных систем в функции абсолютной псевдочастоты:

– по передаточной функции непрерывной системы и заданному интервалу дискретности Т_П определить z-передаточную функцию дискретных систем (использование команды c2d);

– в пакете Symbolic Math Toolbox, осуществляя подстановку в (13.10), получить выражение для построения частотных характеристик дискретных систем на плоскости W в функции абсолютной псевдочастоты;

– привести выражения для построения частотных характеристик в функции  к стандартному виду (команда simplify);

– построить логарифмические характеристики дискретных систем в функции псевдочастоты (команда bode).

Ниже представлена программа, реализующая алгоритм, на рис. 13.1 представлены частотные характеристики аналоговой и дискретных систем.

h=tf(1,[1,3,0]) %Передаточная функция непрерывной системы

Tp=1; %Интервал дискретности Tp=1

h1=c2d(h,Tp) %Дискретная передаточная функция с

%запоминающим элементом нулевого порядка

Tp=0.1; %Интервал дискретности Tp=0.1

h2=c2d(h,Tp) %Дискретная передаточная функция с

%запоминающим элементом нулевого порядка

h3=zpk(h1) %Представление дискретной передаточной

%функции через нули и полюса.

%Символьные расчеты

syms z L hh; %Ввод символьных переменных

digits(3); %Количество десятичных знаков после запятой