3.1 Матричная формулировка основных уравнений мкэ для решения статических задач

z

x

y

Рис. 22 – Пояснительные иллюстрации к основным уравнениям МКЭ: а – схема нагружения области , ограниченная контуром ; б – составляющие тензора напряжения

Пусть дана область , ограниченная контуром (рис. 22а). В части контура заданы контурные условия по силам, а в части - контурные условия по перемещениям. На тело действуют поверхностное нагружение в части контура и объемное нагружение в области .

Составляющие поверхностных сил , , в направлении осей , , как составляющие вектора могут быть выражены:

. (1)

Составляющие объемных сил , , как составляющие вектора :

. (2)

Составляющие перемещения в любой точке тела , , в направлении оси , , могут быть представлены как составляющие вектора :

. (3)

Симметричный тензор деформаций в общем случае выглядит следующим образом:

. (4)

Тензор деформации в силу своей симметричности описывают как вектор :

. (5)

В свою очередь симметричный тензор напряжения состоит из компонентов (рис. 22б):

. (6)

Аналогично, тензор напряжения также может быть представлен как вектор :

. (7)

Связь между составляющими вектора перемещения и тензора деформации дана в выражениях:

. (8)

Или иначе связь между деформацией и перемещением описывается:

(9)

В этом случае связь между деформацией и перемещением проще представить:

, (10)

где - матрица-оператор:

. (11)

Для учета вращения помимо симметричного тензора деформации вводят кососимметричный тензор ротации , причем :

. (12)

Составляющие тензора ротации могут быть представлены в зависимости от перемещения:

. (13)

Связь напряжения и деформации может быть выражена через обобщение закона Гука:

, (14)

где - симметричная матрица, называемая матрицей жесткости материала с размерностью, равной 6.

С учетом свойств симметрии из 36 коэффициентов матрицы только 21 различны. Для однородного изотропного тела симметричная матрица жесткости может быть выражена с помощью 9 различных коэффициентов матрицы через модуль Юнга и коэффициент Пуассона :

. (15)

Для вычисления напряжений, деформаций, перемещений учитывают условия:

1) составляющие тензора деформации не являются независимыми, а удовлетворяют условиям совместности деформаций:

. (17)

В матричной форме условие совместности деформации выглядит:

, (18)

где - матрица-оператор:

. (19)

2) условие равновесия внешних и внутренних сил выражают следующим образом:

. (20)

В матричной форме условие равновесия сил выглядит так:

, (21)

где - матрица-оператор:

. (22)

В вычислениях обычно используется следующее свойство:

. (23)

Приведенных уравнений достаточно для прояснения общих принципов решения статических задач методом МКЭ в прямой формулировке уравнений [84, 85].