4.10 Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

Наиболее удобным способом задания закона распределения случайной величины (дискретной и непрерывной) является аналитический способ. В этом случае соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями задается некоторой функцией . Эта функция называется функцией распределения случайной величины.

Определение 18: Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины _{называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное :} .

Геометрический смысл: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки , т.е. случайная величина попадет в интервал

Свойства функции распределения:

1° ;

2° , если (т. е. функция − функция неубывающая);

3° Пусть и . Так как событие является невозможным, а событие − достоверным, то , ;

4° вероятность попадания случайной величины в промежуток

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения, т. е. . Функцию называют также дифференциальной функцией распределения.

Свойства:

1. неотрицательная, т.е. .

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от до , т.е.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной случайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.

4.11 Числовые характеристики случайной величины

Определение 19. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений на их вероятности:

(25)

или

(26)

Ряд, стоящий в правой части (26) является сходящимся.

Определение 20. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл

(27)

Интеграл в правой части (27) предполагается абсолютно сходящимся.

Свойства математического ожидания:

1° ;

2° ;

3° Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: ;

4° Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е. .

5° .

Пример: В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб., 50 по 50 руб., 100 по 10 руб., 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.

Решение: Ряд распределения случайной величины суммы выигрыша на один билет таков:

X	500	50	10	1	0
P	0,01	0,05	0,1	0,15	0,69

Находим: руб.

Определение 21. Пусть − случайная величина и − ее математическое ожидание. Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Теорема 6. Математическое ожидание отклонения равно нулю.

Определение 22. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(28)

Теорема 7. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

(29)

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется по формуле

(30)

Свойства дисперсии:

1° ;

2° ;

3° Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: ;

4° .

Формулы (28), (29) можно переписать в виде, удобном для расчетов:

Определение 23. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:

(30)

_{Пример: Дискретная случайная величина задана рядом распределения}

X	-1	0	1	2
P	0,2	0,1	0,3	0,4