- •Транспортная задача Основные понятия
- •Алгоритм решения задачи
- •1. Составление первоначального (исходного) плана перевозок.
- •Метод "северо-западного угла"
- •2. Построение последовательных итераций. Получив исходное опорное решение, перейдем к построению новых опорных решений, улучшающих друг друга, применив метод потенциалов.
Транспортная задача Основные понятия
Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого груза из m пунктов отправления
в n пунктов назначения .
При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.
Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через cij тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai - запасы груза в i-м пункте отправления, через bj потребности в грузе в j-м пункте назначения, а через xij - количество единицы груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции:
при условиях:
; ;
План X , , при котором функция принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом.
Для разрешения транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т.е. чтобы выполнялось равенство:
.
Исходные данные заносятся в таблицу следующего вида:
Таблица 1.
ai\bj |
b1 |
b2 |
… |
bk |
… |
bn |
a1 |
c11 x11 |
c12 x12 |
… |
c1k x1k |
… |
c1n x1n |
a2 |
c21 x21 |
c22 x22 |
… |
c2k x2k |
… |
c2n x2n |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Ai |
ci1 xi1 |
ci2 xi2 |
… |
cik xik |
… |
cin xin |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
cm1 xm1 |
cm2 xm2 |
… |
cmk xmk |
… |
cmn xmn |
Алгоритм решения задачи
1. Составление первоначального (исходного) плана перевозок.
Для определения опорного плана существует несколько методов (метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод аппроксимации Фогеля).
Метод "северо-западного угла"
При нахождении опорного плана транспортной задачи методом северо-западного угла на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение таблицы начинается с левого верхнего угла, далее двигаемся или по строке вправо, или по столбцу вниз.
Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного x11(''северо-западный угол'') и заканчивается клеткой для неизвестного xmn.
Пример
В двух пунктах отправления А1 и А2 находятся соответственно 150 и 90 т горючего. Пункты №1, 2, 3 требуют соответственно 60, 70, 110 т горючего. Стоимость перевозки одной тонны горючего из пункта А1 в пункты № 1, 2, 3 соответственно 6,10 и 4 руб. за тонну горючего, а из А2 – 12, 2 и 8 руб. Составить оптимальный план перевозок горючего так, чтобы общая сумма транспортных расходов была наименьшей.
Запишем исходные данные в таблицу 1. Заполнение начнем с клетки (1,1): x11=min{150, 60}=60, первый столбец закрыт. Переходим к клетке (1,2): x12=min{150- 60,70}=70, второй столбец закрыт; далее клетка (1,3): x13=min{150- 60-70,110}=20. Так как в третьем столбце остаток, равный 90, то переходим к заполнению клетки (2,3), куда заносим x23=min{90, 90}=90. Поскольку остатки по строке и столбцу равны нулю, опорное решение построено таблица 2.
Этому плану соответствуют затраты
F = 6•60 + 10•70 + 4•20 + 8•90 = 1860 руб.
Таблица 2.
№1 №2 №3
-
А1
А2
ai\bj60
70
110
150
6
60
10
70
4
20
90
12
2
8
90
Метод минимального элемента
Заполнение клеток транспортной таблицы начинается с клетки, в которой значение стоимости минимальное. Например клетки АiBj. В эту клетку записываем минимально возможное значение перевозки xij, которое может быть равно либо запасу аi соответствующего пункта отправления Аi, либо заявке bj – пункта назначения Bj. Если заявка bj пункта назначения Bj выполнена полностью, то j-й столбец исключается из дальнейшего рассмотрения. Если в пункте отправления Аi остается не вывезенный груз, то он вывозится в следующий пункт назначения с минимальной стоимостью и т.д. до тех пор, пока не будут исчерпаны запасы аi пункта Аi . Далее, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, заявка, которого выполнена. Затем из оставшихся клеток таблицы снова выбираем клетку с наименьшей стоимостью, и все рассуждения повторяются до тех пор, пока не будет найдено допустимое решение.
Пример
Для заданного выше условия найдем опорное решение методом минимального элемента.
Решение начнем с клетки (2,2), где с22=2. В эту клетку заносим x22=min{90, 70}=70. Остатки по строке и по столбцу записываем в соответствующие клетки строки и столбца остатков. Столбец b2 закрыт. Теперь переходим к клетке (1,3), так как после с22 =2 наименьшим является с13 =4. В эту клетку (1,3) заносим x13=min{150- 60,110}=90. Затем переходим к клетке (1,1) : x11=min{150, 60}=60. И, наконец, переходим к клетке (2,3), в которую заносим x23=min{90-70, 110}=20 (таблица 3).
При этом варианте затраты
F = 6•60 + 4•90 + 2•70 + 8•20 = 1020 руб.
Таблица 3
№1 №2 №3
-
А1
А2
ai\bj60
70
110
150
6
60
10
4
90
90
12
2
70
8
20