46.Числовой ряд и его сходимость.
Опр-е. Пусть (аn)=a1,а2,…,аn,…- числ посл-ть.Выражение вида a1,а2,…,аn,…=Σ аn (1) назыв числ рядом, a1,а2,…,аn,…- членами ряда, аn- n-м или общим членом ряда.Опр-е.Сумма конечного числа n первых членов ряда (1) Sn= a1,а2,…,аn=Σак назыв n-й частичной суммой данного ряда.Опр-е. Если для посл-ти (Sn ) частичных сумм ряда (1) сущ-ет конечный предел lim Sn= S, то ряд (1) назыв сходящимся, а число S- суммой данного ряда S= a1,а2,…,аn,…=Σаn. Если предел посл-ти (Sn ) не сущ-ет или равен бесконечности, то ряд назыв расходящимся.
47.Сумма числового ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
Сумма n первых членов ряда назыв его n-й частичной суммой. Если n-ю частичную сумму ряда а1+а2+…+ак+... обозначить ч-з Sn, то по опр-нию S1=a1; S2=а1+а2; S3= а1+а2+а3;…, Sn= а1+а2+а3+…+аn.Конечный или бесконечный предел посл-ти частичных сумм ряда называется суммой данного ряда. Обозначим эту сумму через S, тогда по определению S=lim Sn.
Сходящиеся ряды:1/1*2+1/2*3+1/3*4+…+1/n(n+1)+… ; 1+1/2*3+1/3*32+…+1/n*3n-1+…
Расходящиеся ряды:1+1/2+ 1/3+1/4+…+1/n+…(гармонический ряд)
48.Необходимый признак сходимости ряда.
Теорема. Если ряд u1+u2+…+un-1+un+… сходится, то его n-й член un при неогран возрастании номера n стремится к 0.Док-во. Мы имеем: Sn-1= u1+u2+…+un-1 и Sn= u1+u2+…+un-1+un. Отсюда un= Sn- Sn-1.Т.к. данный ряд сходится, то lim Sn=S и lim Sn-1=S. Отсюда lim un=lim (Sn- Sn-1)= lim Sn- lim Sn-1=S-S=0, что и требовалось док-ть. Следствие: Если n-й член ряда при неограниченном возрастании его номера n не стремится к 0, то этот ряд расходится.
Доказанный необходимый признак сходимости ряда не явл достаточным. Можно привести примеры рядов,у кот-х общий член un стремится к 0 при n стемящемся в бесконечность, ряд тем не менее расходится.
49. Гармонический ряд.
Одним из примеров бесконечного ряда явл гармон ряд.(1+1/2+1/3+…+1/n+…, n-й член к-го равен un=1/n).Исследуем гармон ряд на сходимость. Очевидно, что lim1/n=0, однако гармон ряд расходится. Предположим, что ряд 1+1/2+1/3+…+1/n+…=Σ1/n сходится и его сумма равна S, тогда:lim(S2n-Sn)= lim S2n –lim Sn=S-S=0. Из неравенства: S2n-Sn=1/n+1/1n+2+…+1/2*n ≥n*1/2*n=1/2,n€ N, предельным переходом по n получаем противоречие:0≥1/2
50. Ряд геометрической прогрессии. Исследовать, при каких знач-х q сходится ряд ∑аqn-1 .Члены этого ряда образуют геометр. прогрессию со знаменателем q. будем кратко называть этот ряд геометрич. прогрессией или геометрич. рядом. Поскольку Sn= a+aq+aq2+…+aqn-1; qSn=aq+aq2+aq3+…+aqn;
Sn─qSn=a─aqn, Sn(1─q)= a(1─qn), то при q≠1 Sn=a(1-qn)/(1-q).
Из последнего рав-ва видно, что наличие предела n-й частичной суммы ряда зависит от величины q, а именно:
1.при |q|<1 lim qn=0, lim Sn=a/(1-q), S=a/(1-q);─ряд сходится.
2.при |q|>1 lim qn= ∞, lim Sn= ∞;─ряд сходится.
3.при q=1 ряд принимает вид а+а+…+а+…, для него Sn=na, lim Sn=∞;─ряд расходится.
4.при q=−1 ряд принимает вид а-а+а-…+(-1)n-1a+…, для него S2m=0, S2m+1=a, последовательность частичных сумм не имеет предела;─ряд расходится.
Следовательно, геометр. прогрессия сходится тогда и только тогда, когда |q|<1; ее сумма выражается формулой S=a/(1-q).
Остатком ряда после n-го члена( или n-м остатком) наз-ся ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов.
№51Простейшие свойства сходящихся рядов
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его
остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
2. Если ряд
сходится, то
3. Если ряд
сходится, то сходится ряд
и имеет место равенство
4. Если ряды
и
сходятся,
то сходится и ряд
имеет место равенство
5. Если
ряд
сходится, то
Отсюда
следует Признак
расходимости ряда.
Если
,
то ряд
расходится