41.Линейные дифференциальные ур-я 1-го порядка.

Ур-е вида y' непрерывной ф-и от P(x),Q(x), непр-й ф-и от x наз-ся линейным дифференц-м ур-ем.

y'+P(x)y=Q(x)

Q(x)≠0

y=U(x)∙V(x)

y'=U'V+UV'

U'V+UV'+P(x)UV=Q(x)

U'V+U[V'+P(x)V]=Q(x) (*)т.к. искомое y есть производная 2-ух ф-й, то одну из них можно выбрать произвольно, а др. определить из ур-я (*) выберем ф-ю V так чтобы выр-е [ ]=0

V'+P(x)V=0

V'=-P(x)V

dV/dx=-P(x)V

∫dV/V=∫-P(x)dx(**)

[ ]-∫P(x)dx (***)

V=E в степени -∫P(x)dx подставим (**) в (***)

U'E в степени -∫P(x)dx=Q(x)

dU/dxE в степени -∫P(x)dx=Q(x)

dU=Q(x)E в степени ∫P(x)dx dx

U=∫Q(x)E в степени∫P(x)dxdx+C искомое реш. y есть произвед. 2-ух ф-й

y=VE в степени -∫P(x)dx dx ·∫Q(x)E в степени ∫P(x)dx dx+C .

42.Дифференциальные ур-я высших порядков.

Дифференциальное ур-е n-го порядка наз-ся линейным если оно явл-ся ур-м 1-ой степени относительно искомой ф-ии y и ее произв. y'...y"имеет вид

aoyⁿ+ay в степени(n-1) +any=f(x)

ao,a-const, а так же ф-я f(x)- заданная ф-я.

Будем пологать, что ф-и ao-an,и f(x) непрерывны для всех значений x,ao=1

Ф-я f(x) стоящ. В правой части ур-я наз.правой частью ур-я если f(x)≠0, ур-е наз.линейным не однородным или ур-ем с правой частью, если f(x)=0 наз.линейным однородным или ур-ем без правой части:

a_o*yⁿ+a₁*y^(n-1)+…+a_n*y=0

43 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Их свойства.

Дифференциалом 2-го порядка называется дифференциал от дифференциала 1-го порядка.

Рассмотрим некоторые св-ва линейных однородных дифф. ур-ий 2-го порядка.

1: Если у₁ и у₂ частныя решения ЛОДУ- 2

у″ + а₁у′+ а₂=0, то у₁ и у₂

также являются решением уравнения у″+ а₁у′+ а₂=0.(*)

2:Если у₁ -частное решение уравнения у″ + а₁у′+ а₂=0, а С – const, то С* у₁ тоже будет решением ур – ия у″ + а₁у′+ а₂=0.

Два решения у₁ и у₂ уравнения у″ + а₁у′+ а₂=0 наз. Линейными независимыми на отрезке [a,b], если отношение в этом отр. не явл. постоянным y₂\y₁ ≠ const

В противном случае решении * наз. зависимым, если два решения у₁ и у₂ зависимы на отрезке [a,b]. у₂ \y₁ = λ, у₂ = λ у₁

3.Если ф-ии у₁ и у₂ линейно зависимы на [a,b], то определитель Вронского на этом отр. тождественно =0

4. Если опр. Вронского от у₁ и у₂ составлены для решений у₁ и у₂ ур-ния * ≠0 при любом Х=Х₀ из [a,b], где коэффициенты ур-ний непрерывны, то он не превращается в 0 для любого Х из [a,b]

5. : Если у₁ и у₂ решение ур-ния *, к-ые линейно независимы на отрезке, то опр. Вронского составленный для этого отр., не превращается в 0 ни для одной точки из этого отр.

6. Если у₁ и у₂ решение ур-ния *, к-ые линейно независимы на отрезке, то у=с₁*у₁+с₂*у₂, где с₁ и с₂ –const, есть общее решение ур-ния *

45.Нлду 2-ого порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Ур-ние имеет вид:

y’’+py^’+qy=f(x) (1), p,q-постоянные,f(x)-непрерывная функция.

1-ый случай:

Пусть f(x) имеет следующий вид:

f(x)=Р_n(x)

f(x)=P_n(x)*e^αx

1-ый вариант. Когда α не является корнем характеристического уравнения k²+pk+q=0.В этом случае y_ч=P_n(x)*e^αx

Для того,чтобы определить этот многочлен (P_n) найдем наше у”_ч

y_ч^’=P_n^’(x)*e^αx+P_n(x)*α*e^αx (2)

^y_ч”=P_n”(x)*e^αx+P_n’(x)* α*e^αx+ P_n’(x)* α*e^αx+P_n(x)*α²e^αx=e^αx(P_n”(x)+2P_n’(x)*α+P_n(x) * α²) (3)

Подставим наше у,у’,y” в исходное уравнение (1).

P_n”(x)+(2α+p)* P_n’(x)+P_n(x)*(α²+pα+q)= P_n(x) (4)

2-ой вариант:

Если число α-простой корень характеристического ур-ния.Если бы в этом случае частное решение искали в фор-ле (3),то в рав-ве (4) получился бы слева многочлен(n-1) степени,а справа получилась бы n-ная степень.Следовательно, ни при каких значениях постоянное рав-во (4) не будет тож-вом.Поэтому частное решение нужно брать в виде многочлена (n+1) степени.

у_ч=x*P_n(x)* e^αx (5)