Применение преобразования Радона

В компьютерной томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии сзаконом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна  , где   оптическая плотность объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой   проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от оптической плотности. Вращая всю систему из источника излучения и детекторов вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают достаточно полную информацию о преобразовании Радона оптической плотности в данном срезе объекта. Используя обратное преобразование Радона можно восстановить поглощение излучения в любой точке данной плоскости объекта.

10.

Преобразование Гильберта

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции u(t) функцию H(u)(t) в той же области.

Преобразование Гильберта может быть определено в смысле главного значения интеграла по Коши:

Или, более явно:

При двукратном применении преобразования Гильберта функция меняет знак:

при условии, что оба преобразования существуют.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

где   — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

[править]Обратное преобразование

11.

Преобразование Адамара

Самым простым унитарным преобразованием является преобразование Адамара. Матрица   для случая двух случайных величин будет иметь вид:

.

Если из элементов матрицы   составить базисные вектора  ,  , то они будут характеризовать поворот ортогональной системы координат на 45° относительно единичного базиса.

Если случайные величины   и   имеют корреляционную зависимость  , то проекция вектора   на базисный вектор   будет, в среднем, больше, чем проекция этого же вектора на базисный вектор  . Благодаря этому информация будет сосредотачиваться в первом коэффициенте преобразования. Второй коэффициент служит для уточнения представления вектора   в новом базисе.

Рассмотрим подробнее процесс разложения вектора   по базисным векторам Адамара. Проекция   представляет собой удвоенное среднее значение элементов вектора  , проекция   - удвоенную разность между средним значением и элементом   (рис. 2).

Рис. 2. Графическое представление проекций

 

Выполним восстановление вектора   по первому коэффициенту   с помощью обратной матрицы  , получим:

.                                              (5)

Из выражения (5) видно, что восстановленный вектор   представляет собой средние значения элементов   и  , что соответствует «грубому» приближению вектора  , без наличия мелких деталей.

Рассмотрим теперь восстановление того же вектора по коэффициенту  , получим:

.                             (6)

Анализ выражения (6) показывает, что вектор   описывает только мелкие детали вектора  . При этом можно заметить, что сумма   даст исходный вектор  , что соответствует восстановлению по обоим коэффициентам разложения.

При увеличении размерности пространства большая часть информации будет сосредоточена в малом числе коэффициентов

Матрицу Адамара размерности 4х4 элементов легко построить из матрицы Адамара   размерностью 2х2 элемента:

,

Пользуясь данным соотношением можно построить матрицу Адамара любой размерности  , где   - любое целое положительное число.

Анализ изображений выполняется на основе разделимого преобразования:

.

Так как матрица   представляет собой оператор ортогонального преобразования, то обратное преобразование из   в   запишется в виде

.

Восстановление изображения   по неполному числу коэффициентов разложения, также как и для случая двух случайных величин, будет приводить к похожим эффектам сглаживания и выделения мелких деталей. При этом возникают ошибки восстановления  , которым можно поставить в соответствие некоторую функцию потерь  . Значение этой функции будет характеризовать качество восстановления. На практике часто используют квадратичную функцию потерь

.                                  (7)

Так как   носит случайный характер, то значение   также является случайной величиной. При этом желательно, чтобы  , в среднем, была минимальна. Для этого перепишем выражение (7) в виде

,                (8)

где   - знак математического ожидания. Найдем базисные вектора, минимизирующие (8).

15.