Лабораторная работа 1.3

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

1 Цель работы

1.1 Изучение метода экспериментального изучения корреляционных характеристик случайных процессов и детерминированных сигналов.

1.2 Исследование связи между корреляционными функциями и спектрами случайных процессов и детерминированных сигналов.

2 Ключевые положения

2.1 Корреляционной функцией (КФ) случайного процесса X(t) называется математическое ожидание произведения значений процесса, которые он принимает в моменты времени t₁ и t₂:

. (3.1)

Значение КФ K_Х(t₁, t₂) определяют величину статистической зависимости между значениями процесса в моменты времени t₁ и t₂. У стационарных процессов значения КФ зависят не от выбора t₁ и t₂, а от расстояния между ними  = t₂ – t₁, а КФ обозначается как K_X(). Далее будем рассматривать лишь стационарные процессы и считать, что они являются эргодические. Для эргодических процессов КФ определяется

, (3.2)

где x(t) – реализация процесса X(t).

2.2 Независимо от вида КФ разных процессов, для них выполняются следующие свойства:

– K_X(0) = Р_Х, где Р_Х – средняя мощность процесса;

– K_X(0)  K_X() – если  = 0, значение функции K_X() максимальное;

– K_X() = K_X(–) – функция K_X() парная ;

– K_X()  , где – среднее значение процесса.

2.3 Чем меньшее значение K_X() сравнительно с K_X(0), тем меньшая статистическая зависимость между значениями процесса, которые отдаленные по времени на . Если значение K_X() = 0, то значение процесса X(t), которые отдалены по времени на такой интервал , есть некоррелированными. Значение K_X() и K_X(0) более легкое сравнивать, если перейти к нормированной корреляционной функции

. (3.3)

Значение R_X(0) = 1 и –1  R_X()  1.

2.4 Часто для описания корреляционных свойств случайных процессов вместо КФ используют число – интервал корреляции _к. Интервал корреляции вводится для “грубого” описания корреляционных свойств процесса, а именно, значение процесса, отдаленные на время   _к, считают некоррелированными, а значение процесса, отдаленные на время   _к, считают коррелированными. Используются разные способы определения интервала корреляции:

1) Интервал корреляции _к есть основа прямоугольника высоты K_X(0), площадь которого равняется площади под кривой модуля ФК (рис. 3.1, а):

. (3.4)

2) Интервалом корреляции есть такое значение _к, что при   _к значение ФК не превышают некоторого заданного уровня (рис. 3.1, б).

3 ) Если ФК имеет колебательный характер, то за интервал корреляции _к можно принять значение , для которого ФК первый раз принимает нулевое значение (рис. 3.1, в).

2 .5 Измерять КФ строго соответственно (3.2) невозможно, поскольку для этого необходимая реализация процесса неконченой продолжительности. Можно измерять ФК лишь реализации случайного процесса оконченной продолжительности. Очевидно, чем большая продолжительность реализации процесса Т_реал, той точнее вымеренная КФ реализации отображает КФ процесса. Устройство для измерения КФ реализации называется коррелометром (рис. 3.2). Здесь время задержки  определяет аргумент измеренного значения КФ. Если коррелометр, показанный на рис. 3.2, выполнить на процессоре или на компьютере, то можно получить массив значений К_Х(kТ_д), где Т_д – интервал дискретизации реализации процесса x(t); значение аргумента лежат в пределах –Т_реал  kТ_д  Т_реал. Полученные массивы значений kТ_д и К_Х(kТ_д) выводятся на двумерный дисплей

2.6 Основной спектральной характеристикой случайных процессов есть спектральная плотность мощности G_X(f), которая определяет распределение мощности процесса по частоте. Количественно функция G_X(f) определяет мощность процесса в полосе частот протяжностью 1 Гц возле частоты f. Теорема Винера-Хинчина утверждает, что функции K_X() и G_X() связанные преобразованием Фурье

(3.5)

Если функция G_X(f) известная, то с помощью ее можно определить среднюю мощность процесса

. (3.6)

В частности, если процесс – квазибелий шум с спектральной плотностью мощности N₀ в полосе частот (0, F_max),

P_X = N₀F_max. (3.7)

2 .7 Часто довольно знать ширину спектра процесса F_max. Ширина спектра случайного процесса определяется по функции G_X(f) теми же методами, которые и ширина спектра детерминированного сигнала. На рис. 3.3 показано, как ширина спектра определяется на заданном уровне y, то есть F_max есть протяжность области частот, вне которой спектральная плотность мощности процесса не превышает значения у.

Поскольку функции K_X() и G_X(f) связаны преобразованием Фурье, то есть связь между шириной спектра F_max и интервалом корреляции _к процесса:

_кF_max = 0,5. (3.8)

Знак равенства в выражении (3.6) следует понимать таким образом – произведение интервала корреляции и ширины спектра процесса есть величиной порядка 0,5.

2.8 Корреляционная функция есть также характеристикой детерминированного сигнала, хотя и не имеет такого толкования, как для случайного процесса. КФ непериодического детерминированного сигнала определяется

, (3.9)

где T_s – продолжительность сигнала s(t).

Измерять КФ детерминированного сигнала можно с помощью коррелометра, приведенного на рис. 3.2, в котором интегрирование проводится на интервале (0, T_s) и отсутствующий множитель перед интегралом.

Пусть s(t) – П-импульс амплитуды А и продолжительности T_і

(3.10)

После подстановки выражения (3.10) в уравнение (3.9) получим

(3.11)

КФ П-импульса показана на рис. 3.4, а.

С выражения (3.7) следует, что K_s(0) = E_s.– энергии сигнала s(t). Преобразование Фурье от K_s() дает квадрат амплитудного спектра (спектральную плотность энергии) сигнала s(t). Преобразование Фурье от выражения (3.11) дает квадрат известного выражения для амплитудного спектра П-импульса

. (3.12)

2.9 Рассмотрим радиоимпульс с П-подобной огибающей продолжительности T_і

(3.13)

где А, f₀ и ₀ – амплитуда, частота и начальная фаза колебания.

После подстановки (3.13) в (3.9) получим

(3.14)

С формулы (3.14) следует, что КФ радиоимпульса есть косинусоида с нулевой начальной фазой и не зависит от фазы радиоимпульса. Поэтому, если начальная фаза радиоимпульса ₀ есть случайной величиной, то КФ радиоимпульса определяется формулой (3.14). Огибающая КФ радиоимпульса совпадает с КФ сигнала, который есть огибающей радиоимпульса. На рис. 3.4,б приведена КФ радиоимпульса, построенная по формуле (3.14) при f₀ = 4/T_i.

Преобразование Фурье от выражения (3.14) дает квадрат амплитудного спектра сигнала (3.12)

. (3.15)

3. Ключевые вопросы

3.1 Дать определение КФ случайного процесса.

3.2 Как определяется КФ эргодического процесса?

3.3 Пересчитать основные свойства КФ случайного процесса.

3.4 Какие параметры случайного процесса можно определить по его КФ?

3.5 Что утверждает теорема Винера-Хинчина?

3.6 Пересчитать способы определения интервала корреляции.

3.7 Что существует связь между шириной спектра и интервалом корреляции случайного процесса?

3.8 Какой вид имеет КФ П-импульса?

3.9 Какой вид имеет КФ радиоимпульса с П-подобною огибающей?

3.10 Почему начальная фаза радиоимпульса не влияет на его КФ?

4. Домашнее задание

4.1 Выучить раздел “Корреляционная теория случайных процессов” по конспекту лекций и литературе [1, с. 73...79, 149...164; 2, с. 67...72, 109...118].

4.2 Построить структурные схемы коррелометров для исследования корреляционных функций случайных процессов и детерминированных сигналов.

4.3 Рассчитать и построить графики КФ П-импульса и радиоимпульса с П-подобной огибающей при таких исходных данных: продолжительность импульсов Т _и = 2 мс, частота колебания радиоимпульса f₀ = 500(N + 1) Гц, где N – номер бригады при выполнении лабораторных работ. Для заданных импульсов рассчитать и построить графики спектров по выражениям (3.12) и (3.15).

4.4 Подготовиться к обсуждению по ключевым вопросами.

5 Лабораторное задание

5.1 Ознакомление с виртуальным макетом на рабочем месте.

Для этого запустить программу 1.3, используя иконку “Лабораторные работы” на рабочем столе, а потом папку ТЕЗ-1. Следует освоить запуск программы, введение параметров и выучить структуру виртуального макета по его описанию в розд. 6 этой ЛР. Уточнить с преподавателем план выполнения лабораторного задания.

5.2 Исследование корреляционных и спектральных характеристик реализаций шума.

Установить в генераторе квазибелого шума F_max = 1000 Гц. После выполнения программы провести анализ экспериментальных данных и занести его к выводам отчета, а именно, проверить выполнения свойств корреляционной функции, определить по спектру его максимальную частоту, а корреляционной функции – интервал корреляции, найти их произведение, сравнить его с теоретическим значением (3.8); дать визуальную оценку среднего значения спектральной плотности мощности N₀ на интервале (0, F_max), помножить ее на F_max и сравнить произведение с значением измеренной средней мощности реализации – соотношение (3.7).

По заданию преподавателя повторить исследования для других значений F_max.

5.3 Исследование корреляционных и спектральных характеристик П-импульса.

Установить в генераторе П-импульса А = 2 В, Т_и = 0,5 мс. После выполнения программы зарисовать графики K_s() и S²(f). Провести анализ экспериментальных данных и занести его к выводам отчёта, а именно, сравнение экспериментальной зависимости S²(f) с теоретической (3.12); экспериментальной зависимости K_s() с теоретической (3.11); измеренное значение энергии импульса с значением K_s(0). По заданию преподавателя повторить исследования для других значений А и Т_и.

5.4 Исследование корреляционных и спектральных характеристик радиоимпульса.

Установить в генераторе радиоимпульса А = 2 В, f₀ = 1000 Гц. После выполнения программы зарисовать графики K_s() и S²(f). Провести анализ экспериментальных данных и занести его к выводам отчета, а именно, сравнить экспериментальную зависимость S²(f) с теоретической (3.15); экспериментальную зависимость K_s() с теоретической (3.14); вымеренное значение энергии импульса с значением K_s(0). Записать значения начальной фазы. Запустить на выполнение программу и убедиться, что корреляционная функция не зависит от начальной фазы.

По заданию преподавателя повторить исследования для других значений А и Т_и.