ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ЛОГИКЕ
1. Натуральное исчисление высказываний: правила вывода, понятия вывода, доказательства, теоремы. 2. Эвристические приемы поиска вывода в натуральном исчислении высказываний. 3. Классическая логика предикатов: язык, интерпретация нелогических символов, понятие модели, правила приписывания значений термам. 4. Классическая логика предикатов: правила приписывания значений формулам, понятия общезначимой и выполнимой формул, определение основных логических отношений между формулами. 5. Аналитико-табличный метод в логике предикатов. 6. Аксиоматическое исчисление предикатов: схемы аксиом и правила вывода, понятия доказательства, вывода и теоремы. 7. Натуральное исчисление предикатов: правила вывода, понятия вывода, завершенного вывода и доказательства. 8. Основные метатеоретические свойства логических исчислений: семантическая непротиворечивость и полнота, синтаксическая непротиворечивость и полнота, разрешимость. 9. Семантическая непротиворечивость и полнота, разрешимость исчисления высказываний. 10. Синтаксическая непротиворечивость и полнота исчисления высказываний. 11. Метатеоретические свойства классического исчисления предикатов первого порядка. 12. Традиционная силлогистика: язык, условия истинности категорических высказываний, понятия закона и правильного умозаключения в силлогистике. 13. Отношения между категорическими высказываниями. Логический квадрат. 14. Непосредственные умозаключения: выводы по логическому квадрату. 15. Непосредственные умозаключения: обращение, превращение, противопоставление субъекту и предикату. 16. Простой категорический силлогизм: его состав, фигуры и модусы. Общие правила силлогизма. 17. Свойства правильных модусов фигур силлогизма. 18. Проверка силлогизмов с использованием круговых диаграмм. Энтимема и метод ее проверки. 19. Силлогистика и современная логика.
Дополнительные вопросы на "отлично" 1. Доказательство метатеоремы о семантической полноте исчисления высказываний. 2. Доказательство метатеоремы о синтаксической полноте исчисления высказываний с конечным числом аксиом и правилом подстановки.
1. Натуральное исчисление высказываний: правила вывода, понятия вывода, доказательства, теоремы.
Исчисление – формальная система, предназначенная для выявления корректности рассуждения на основе оперирования только синтаксическими отношениями между знаками. Доказательство в исчисления выполняется только средствами формального языка, без интерпретаций знаков.
Типы исчислений:
1. Аксиоматические. Исходные дедуктивные постулаты – аксиомы и правила вывода.
2. Натуральные исчисления (естественные) Их задача – моделировать естественные способы рассуждения, делая их корректными. Процедура поиска вывода в них проще чем в аксиоматических исчислениях. Формальные отличия от аксиоматических исчислений – нет аксиом. В качестве дедуктивных постулатов только правила вывода.
Алгоритм создания исчисления:
1) Задается формальный язык
2) Задаются начальные постулаты
3) Задаются принципы и определения вывода
4) Задаются принципы и определения доказательства
5) Определяется отношение выводимости
6) Выявляется класс теорем (доказуемых формул)
Построение классического исчисления высказываний:
1) Использующийся формальный язык – язык классической логики высказываний
2) Дедуктивные постулаты – правила перехода. Правила перехода бывают двух видов:
-Прямые – правила позволяющие переходить от одной или нескольких формул определенного типа к формулам определенного типа
А1,А2,…,Аn ├ В1,В2,…,Вn
- Непрямые – от утверждения о выводимости перейти к утверждения другой выводимости
Г, А ├ В
Г ├ А
В
В классическом исчислении высказываний используются только прямые переходы:
А, В -введение А&В А&В -исключение
А&В конъюнкции А В конъюнкции
А В
-введение А
В,
А
-исключение
А В А В дизъюнкции В дизъюнкции
В -введение А В, А -исключение
С В импликации В импликации
В, В -введение А -исключение
С отрицания А отрицания
где С – последнее из неисключенных допущений
Особенности: При применении правил введения импликации и отрицания все формулы вывода, начиная c последнего неисключенного допущения, и вплоть до результата применения этих правил, считаются исключенными из дальнейшего построения вывода (к ним запрещается далее применять правила вывода).
3) Выводы
Вывод из множества допущений Г – это непустая конечная последовательность формул, такая что каждая формула этой последовательности есть либо допущение (посылка) из Г, либо любая формула, принятая в качестве дополнительного допущения; либо формула, полученная из предыдущих по одному из правил вывода.
Вывод формулы А из Г – вывод из Г, последняя формула которого совпадает с А
4) Доказательства
Доказательство формулы А – вывод формулы А из пустого множества неисключенных допущений.
5) Выводимость
Формула А выводима из Г, если существует вывод из Г, последняя формула которого совпадает с А
6) Теоремы
Формула А называется теоремой, если ее возможно доказать в классическом исчислении высказываний