3. Система лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами та методи їх розв’язування.

Нехай є ЛОС

(3.1)

зі сталими коефіцієнтами .

Означення. Алгебраїчне рівняння

називається характеристичним рівнянням ЛОС (3.1), – характеристичним поліномом матриці , а його корені – власними числами цієї матриці.

Розв’язання ЛОС суттєво залежить від розмірів матриці і від її власних чисел, які можуть бути простими і кратними, кратними з простими елементарними дільниками і кратними елементарними дільниками.

Основними способами розв’язування ЛОС є:

• метод Ейлера,

• матричний метод,

• метод виключення.

Метод Ейлера. Суть цього методу полягає в тому, що розв’язки рівняння ЛОС шукаються у вигляді

, (3.2)

де число і ненульовий сталий вектор потрібно належним чином визначити. Для їх визначення підставимо вектор (3.2) і його похідну у ЛОС (3.1), записану у векторно-матричній формі :

. (3.3)

Отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь, де – одинична матриця, матиме ненульові розв’язки тільки за умови, що її визначник дорівнюватиме нулю, тобто коли буде власним числом матриці .

Зупинимося на найпростішому випадку, коли всі власні числа – дійсні і різні. Тоді матриця має лінійно незалежних власних векторів , які відповідають власним числам . Кожний з цих векторів є розв’язком системи рівнянь (3.3). Водночас вектор-функції

(3.4)

є лінійно незалежними розв’язками системи (3.1), а отже, утворюють фундаментальну систему розв’язків. Тому їх лінійна комбінація

– довільні сталі, є загальним розв’язком цієї системи.

Матриця , елементами якої є елементи векторів є фундаментальною матрицею розв’язків системи (3.1):

При цьому загальним розв’язком системи є вектор-функція де – довільний сталий вектор.

Якщо серед власних чисел матриці є комплексні числа , то їм відповідають комплексно спряжені власні вектори . У цьому випадку комплексні вектор-функції будуть розв’язками системи (3.1). Оскільки за формулами Ейлера

,

то

.

Можна довести, що і дійсна, і уявна частини отриманих комплексних вектор-функцій є розв’язками системи (3.1). Визначник Вронського цих розв’язків у точці не дорівнює нулю

.

Тому за формулою Якобі визначник Вронського для всіх . Отже,

комплексним кореням характеристичного рівняння відповідають дві дійсні вектор-функції

і ,

які є лінійно незалежними розв’язками ЛОС (3.1).

Метод Ейлера застосовується й у випадках кратних коренів характеристичного рівняння, але це застосування значно складніше.

Приклад 1. Знайти фундаментальну матрицю розв’язків і загальний розв’язок системи

Р о з в ’ я з а н н я. Складаємо матрицю коефіцієнтів і характеристичне рівняння системи

.

Корені характеристичного рівняння – дійсні різні. Система має два лінійно незалежні розв’язки і .

Координати власного вектора , що відповідає власному числу , знаходимо з системи алгебраїчних рівнянь

Оскільки координати довільні, то покладаємо . Будуємо відповідний частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь:

Координати власного вектора , що відповідає власному числу , знаходимо з системи алгебраїчних рівнянь:

Якщо , то Будуємо відповідний частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь

Складаємо фундаментальну матрицю розв’язків системи

.

Далі будуємо загальний розв’язок системи

де – довільні сталі.

Матричний метод. Суть матричного методу розглянемо на системі двох лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

(3.5)

Використовуючи матрицю коефіцієнтів системи, вектор-функцію і її похідну :

,

систему (3.5) запишемо у векторно-матричному вигляді

. (3.6)

Нехай матриця – жорданова форма матриці . Тоді існує неособлива матриця така, що . При цьому, якщо характеристичне рівняння матриці має дійсні різні корені і , то – діагональна матриця:

,

якщо ж , то – клітина Жордана:

.

У системі (3.6) виконаємо заміну :

(3.7)

Якщо – фундаментальна матриця розв’язків системи , то – фундаментальна матриця розв’язків системи .

Зупинимося окремо на кожному з цих випадків.

1. Нехай , Тоді система розпадається на два лінійні диференціальні рівняння і , які легко інтегруються: . Дістаємо вектор-функцію :

: ,

де – фундаментальна матриця розв’язків рівняння (3.7), – довільний сталий вектор.

Фундаментальною матрицею розв’язків системи (3.6) є матриця , а вектор-функція – її загальний розв’язок.

2. Якщо , то

(3.8)

З рівняння дістаємо . З першого рівняння останньої системи, отримуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку

.

Звідси знаходимо

.

Побудуємо вектор-функцію :

,

де – фундаментальна матриця розв’язків системи (.), – довільний сталий вектор.

Повертаючись до вектор-функції , дістанемо загальний розв’язок системи (3.6):

де – фундаментальна матриця її розв’язків.

Приклад 2. Для системи рівнянь

1) побудувати фундаментальну матрицю розв’язків,

2) знайти загальний розв’язок,

3) знайти частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови .

Р о з в ’ я з а н н я. Використовуючи вектор і матрицю , де

систему записуємо так:

Складаємо характеристичний поліном матриці і знаходимо його корені:

.

Будуємо клітину Жордана , що є канонічною формою матриці :

Шукаємо матрицю перетворення :

.

Для цього використовуємо рівність:

.

Перемноживши матриці, дістаємо чотири рівності:

Візьмемо . Тоді Маємо

.

Виконуємо заміну , де – нова невідома вектор-функція:

(3.9)

Інтегруючи друге рівняння останньої системи, дістаємо Вектор-функцію визначено:

,

Тут – фундаментальна матриця розв’язків системи (3.9), – довільний сталий вектор.

1. Будуємо фундаментальну матрицю розв’язків даної системи:

.

2. Будуємо загальний розв’язок:

.

3. Знаходимо розв’язок задачі Коші. Спочатку визначаємо сталі і :

;

потім – частинний розв’язок:

Метод виключення. За допомогою цього методу розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами зводиться до розв’язування лінійного диференціального рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Проілюструємо метод виключення на системі двох рівнянь

(3.10)

Продиференціюємо перше рівняння системи:

(3.11)

З першого рівняння виразимо через і :

і підставимо в рівняння (3.11), яке щойно дістали:

(3.12)

Якщо – загальний розв’язок рівняння другого порядку (3.12), то з першого рівняння системи (3.10)дістаємо і завершуємо побудову загального розв’язку системи:

Приклад 3. Розв’язати задачу Коші

Р о з в ’ я з а н н я.

Інтегруючи отримане рівняння, дістанемо

.

Підставимо цю функцію і її похідну в перше рівняння системи:

.

Із загального розв’язку

,

системи дістаємо розв’язок задачі Коші:

, .