4. Собственные функции и собственные значения

Применим наш оператор дифференцирования A к функции f(x) = e^ax.

,

т.е. действие оператора на функцию свелось к умножению этой функции на константу.

Функции, для которых выполняются подобные равенства L_i = _i_i, называют собственными функциями оператора L, а соответствующие _i – собственными значениями оператора L. Понятно, что собственные функции определены с точностью до постоянного множителя. Совокупность собственных значений _i оператора называют его спектром. Бывает, что одному и тому же значению  соответствует несколько различных собственных функций _i1, _i2, … _iN. Говорят, что эти функции вырождены.

5. Эрмитовы операторы

До сих пор мы лишь упомянули о том, что наши функции могут быть и комплексными, но пока нас это мало волновало. Теперь будет волновать.

Особый интерес в квантовой механике представляют самосопряженные или эрмитовы операторы, для которых

,

Где * означает комплексно сопряженную величину, т.к. и функции, и операторы могут быть комплексными, а интеграл – определенный и берется по всему пространству.

Проверим, будет ли самосопряженным наш оператор дифференцирования, определенный на классе функций f₁(x) и f₂(x), обращающихся в 0 на бесконечности:

f₁(–) = f₁(+) = f₂(–) = f₂(+) = 0. Поскольку наш оператор действительный, L* = L.

Сравним интеграл

с интегралом

Здесь мы воспользовались интегрированием по частям, приняв

А что будет, если добавить в наш оператор мнимую единицу ? Как при этом будет выглядеть оператор A*? А вот как: , т.е. .

Проделав те же выкладки (и помня, что мнимая единица – тоже константа), видим, что этот оператор – линейный и самосопряженный.

А теперь – несколько очень важных теорем.

Теорема 1. Собственные значения самосопряженного оператора действительны.

Дано:

1. L = ,  – регулярная функция;

2. соответственно, L** = **;

3. .

Требуется доказать:

 = *.

Домножим (1) слева на * и проинтегрируем:

, где .

То же самое с (2):

.

Но : наш оператор L – самосопряженный, поэтому

, и

 = *.

Теорема 2. Собственные функции эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Дано:

L_m = _m_m,

L_n = _n_n,

_m  _n;

Доказать:

Обратите внимание: это доказательство относится только к невырожденным собственным функциям. Однако есть еще одна важная теорема.

Теорема 3. Линейная комбинация собственных функций, принадлежащих одному собственному значению, также является собственной функцией с тем же собственным значением.

Линейной комбинацией функций f₁, f₂, f₃… f_N называется f = c₁f₁ + c₂f₂ + … + c_Nf_N. Мы рассмотрим для простоты случай только двух функций.

Дано: Lf₁ =  f₁; Lf₂ =  f₂; f = c₁f₁ + c₂f₂.

Доказать : Lf =  f

Lf = L(c₁f₁ + c₂f₂) = c₁ L f₁ + c₂ L f₂ = c₁  f₁ + c₂  f₂ = (c₁f₁ + c₂f₂) =  f

Этот результат мы потом еще используем и «в чистом виде», а сейчас для нас важно другое: в линейной алгебре доказывается, что из набора N линейно независимых функций общего вида всегда можно построить N взаимно ортогональных функций. При этом все они будут решениями нашего операторного уравнения.

Поскольку собственные функции нашего эрмитова оператора определяются с точностью до постоянного множителя, их всегда можно нормировать. Действительно, если , то можно перейти к новым функциям , которые будут собственными функциями того же оператора, и при этом будут нормированными.

Без уменьшения общности можно утверждать, что собственные функции _m самосопряженного оператора ортонормированны. Это часто записывают так:

или в виде одной формулы:

,

где _ij – «дельта Кронекера» –