1.8. Инфляция Основные положения

0. Инфляция представляет собой процесс, характеризующийся повышением общего уровня цен в экономике или, что практически эквивалентно, снижением покупательной способности денег. При этом инфляция может проявляться двояко: во-первых, в переполнении сферы обращения бумажными деньгами вследствие их чрезмерного выпуска; во-вторых, в сокращении товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег. Основополагающим сущностным признаком инфляции является рост цен в среднем.

1. Темпы инфляции определяются с помощью системы индексов цен - относительных показателей, характеризующих среднее изменение уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за выбранный период.

2. Индекс цен (его также называют индексом инфляции) показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период. Наиболее широко используемым индексом цен является индекс потребительских цен, отражающий рост цен на некоторый постоянный потребительский набор товаров и услуг (такой набор часто называют потребительской корзиной).

3. Темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. Вместо выражения "темп инфляции" часто используют термин "уровень инфляции" или просто говорят "инфляция", подразумевая именно ее темп за данный промежуток времени.

4. Для того чтобы в условиях инфляции стоимость первоначального капитала при его наращении на самом деле росла, исходную процентную ставку увеличивают - происходит ее индексация.

5. При инфляции различают следующие виды процентных ставок. Номинальная процентная ставка - это исходная базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в договорах. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректирована на инфляцию. Номинальная ставка говорит об абсолютном увеличении денежных средств инвестора. Реальная процентная ставка показывает доходность с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной способности денег. Реальная ставка говорит о приросте покупательной способности средств инвестора. Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной. Положительная процентная ставка - это любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции. Иногда любую процентную ставку, превышающую номинальную, называют брутто-ставкой процента. Но, как правило, брутто-ставка является положительной процентной ставкой.

6. Дефляция представляет собой процесс, характеризующийся снижением общего уровня цен в экономике.

Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.8.1. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб. до 692 руб. Определите: а) индекс потребительских цен за три месяца; б) среднемесячный индекс потребительских цен; в) темп инфляции за три месяца; г) среднемесячный темп инфляции.

Решение, а) Полагая = 634 руб., Р₂ = 692 руб., по формуле (39) находим индекс потребительских цен за 3 месяца (t=0,25 года):

Следовательно, за рассматриваемый период пены на некоторый постоянный. потребительский набор товаров выросли в 9,15%.

б) Обозначим через среднемесячный индекс потребительских цен (индекс инфляции). Тогда по формуле (42) при k=3 получим , откуда

в) Темп инфляции за три месяца находим из формулы (41):

т.е. темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов выросли цены. Такой же результат получается и по формуле (40):

г) Аналогичным образом, как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулой (41) при t =

Конечно, h₁ можно найти и преобразуя формулу (42). Так как , то

Пример 1.8.2. В течение полугода каждые два месяца цены росли соответственно на 12%, 9% и 14%. Определите индекс и темп инфляции: а) за полгода; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

Решение, а) Поскольку индексы цен за каждые два месяца последовательно равны 1,12; 1,09 и 1,14, то индекс цен (индекс инфляции) за полгода (0,5 части года) найдем по формуле (42):

откуда находим темп инфляции за этот же период:

, т.е. .

б) Поскольку , то среднемесячный индекс инфляции составит:

и поэтому среднемесячный темп инфляции , т.е.

в) Индекс инфляции в среднем за квартал (0,25 части года) можно найти либо по формуле (42):

либо, учитывая, что квартал составляет полгода

и поэтому h_0,25 = 17,97%.

Пример 1.8.3. В 1993 г. инфляция в Сербии и Черногории составила 313 миллионов процентов [Мицкевич, с.24]. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способности, если год полагать равным 360 дням?

Решение. Известно, что при индексе инфляции за период n, равном , сумма P через это время п по своей покупательной способности в ценах текущего дня составит величину . В условии примера речь идет о темпе инфляции за год, и поэтому для годового индекса инфляции имеем = 3130001, а следовательно, ежедневный ( за 1/360 года) индекс инфляции равен величине . Таким образом, надо определить такое количество дней t, чтобы выполнялось равенство . Логарифмируя обе части этого равенства, получим:

откуда:

дня, т.е. примерно 17 дней.

Очевидно, что если считать в году 365 дней, то:

дня

т.е. также примерно 17 дней.

Таким образом, в частности, практически через месяц (через 34 дня) сумма Р по своей покупательной способности в ценах текущего дня составит величину , т.е. потеряет три четверти своей покупательной способности.

Пример 1.8.4. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 42% годовых при годовом темпе инфляции в 20%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 42% годовых?

Решение. Полагая в формуле (46) n = 1, r =• 0,42, = 1,2, получим:

т.е. доходность с учетом инфляции при начислении простых процентов составляет: =18,33% годовых.

Чтобы иметь реальную доходность 42% в условиях инфляции, необходимо установить процентную ставку, большую, чем 42%. Значение такой ставки находим по формуле (45):

, или 70,4% годовых.

Естественно, можно было воспользоваться и формулой (44), полагая h_n = 0,2:

Пример 1.8.5. Клиент положил на депозит 16 тыс. руб. на полгода под простую процентную ставку 46% годовых. Определите реальную (по своей покупательной способности) сумму, которую получит через полгода клиент, если среднемесячный темп инфляции составлял 3%. Чему равна реальная доходность такой финансовой операции для клиента в виде годовой простой процентной ставки? При какой процентной ставке сумма на депозите реально остается постоянной?

Решение. По формуле (42) находим индекс инфляции за полгода:

По формуле (43) находим наращенную сумму с учетом ее обесценения:

тыс. руб.

Таким образом, по своей покупательной способности 16 тыс. руб. увеличатся за полгода всего на 481 руб. Следовательно, из-за инфляции реальная доходность помещения денег на депозит в виде годовой процентной ставки по формуле (23) составит:

т.е. всего 6,01%, а не 46%. Такой же результат получим, и воспользовавшись формулой (46), в которой n=0,5, r=0,46, :

Сумма на депозите с учетом инфляции не изменится за полгода, если множитель наращения будет равен индексу инфляции, т.е. . Поэтому:

т.е. для нашего примера:

Итак, процентная ставка 38,82% годовых будет просто компенсировать негативное действие инфляции за полгода, и только при ставках, больших 38,82% (так называемых положительных процентных ставках) будет происходить (при наращении) реальное увеличение капитала.

Конечно, при сохранении темпа инфляции 3% в месяц и процентной ставке 38,82% годовых сумма на депозите за год уменьшится. Чтобы она не изменилась за год с учетом инфляции, процентная ставка должна быть больше, чем 38,82%. Действительно, поскольку годовой индекс инфляции составит:

то, применяя последнюю формулу при п = 1, получим:

Пример 1.8.6. Предприниматель получил в банке кредит 80 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 28% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 20%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

Решение. Так как для годового темпа инфляции имеем h_l = 0,2, то по формуле (44) находим искомое значение процентной ставки:

Следовательно, процентная ставка должна быть равной 53,6% годовых, и в соответствии с ней предприниматель через год должен будет возвратить сумму:

тыс. руб.

Очевидно, что процентная ставка, только компенсирующая действие инфляции, равна 20% годовых.

Пример 1.8.7. На сумму 8 тыс. руб. в течение трех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале - 40% годовых, во втором - 45% годовых, в третьем - 50% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 3, 1,5 и 2%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

Решение. Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции по формуле (15), полагая Р=8 тыс. руб., n₁=n₂=n₃=0,25года. i₁ = 0.4, i₂ = 0.45, i₃ = 0,5:

тыс. руб.

Индекс инфляции за три квартала (0,75 года) составит величину:

Теперь можно найти наращенную сумму с учетом инфляции:

тыс. руб.

Реальный доход владельца счета равен:

тыс. руб.

Таким образом, реальную доходность от помещения денег в рост определяем по формуле:

т.е. 13б73% годовых.

Очевидно, что в данном примере множитель наращения с

Пример 1.8.8. Банк выдает кредит по простой процентной ставке 44% годовых, при этом удерживая комиссионные в размере 3,5% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде простой годовой процентной ставки, если кредит выдается: а) на 4 месяца; б) на год. Банк начисляет обыкновенные проценты на исходную сумму кредита, и ежемесячный темп инфляции составляет 2%.

Решение, а) Обозначим величину кредита через Р, тогда банк удерживает в свою пользу комиссионные в размере 0.035Р и поэтому выдает сумму Р - 0.035Р =. 0,965P. За 4 месяца (1/3 года) с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит:

Следовательно, общий доход банка равен 1,0593Р – 0,9б5P=0,0943P. Таким образом, действительная доходность кредитной операции для банка в виде годовой процентной ставки составит:

т.е. r =29,32% годовых.

б) Проводя аналогичные вышеприведенным рассуждения, находим, что в атом случае общий доход банка равен:

и. следовательно, доходность составит:

или 17,66% годовых.

В данном случае доходность меньше, чем в предыдущем пункте, так как за год деньги обесцениваются в большей степени, чем за 4 месяца, да и комиссионные в величину доходности доставляют в три раза меньший относительный вклад за год, чем за 4 месяца.

Пример 1.8.9. Вексель учитывается в банке за три месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции в 4,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 40% годовых?

Решение. По формуле (42) определяем индекс инфляции за 3 месяца (0,25 года):

Изложим два подхода к решению примера. Согласно первому подходу вначале определяем по формуле (45) процентную ставку, обеспечивающую при данной инфляции реальную доходность 40% годовых:

т.е. 102б13% годовых.

Поскольку реальная доходность операции учета должна соответствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной ставкой 40% годовых, то искомая учетная ставка находится по формуле (26), где n = 0,25 и r = 1,0213. Таким образом:

т.е. 81б36% годовых.

При другом подходе вначале находим по формуле (26) значение реальной простой учетной ставки, соответствующее значению реальной процентной ставки 40%:

Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивающую в условиях существующей инфляции реальную доходность согласно учетной ставке 36,364%:

Получили тот же результат.

Пример 1.8.10. Под какую простую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась на 20% за 10 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 3%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

Решение. Определяем по формуле (42) индекс инфляции за 10 месяцев ( года):

Пусть Р - величина денежной суммы и r - искомая процентная ставка. Тогда начисленные проценты без учета инфляции находим по формуле (12):

С этой величины в счет уплаты налога проценты пойдет сумма 0,12I и, следовательно, после уплаты величина наращенной суммы составит:

а с учетом инфляции:

Полученная сумма должна быть больше исходной на 20%, т.е. в 1,2 раза:

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно г , получим:

т. е. r=83,55% годовых.

Если наращение осуществляется по простой учетной ставке d, то:

После уплаты налога величина наращенной суммы составит:

Полученная сумма с учетом инфляции должна быть больше исходной в 1.2 раза:

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно d, получим d=0,4926, или d= 49,26% годовых.

Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке r = 83,55% при n = %:

Задачи

1.8.1. За полгода стоимость потребительской корзины возросла с 645 руб. до 788 руб. Определите индекс и темп инфляции: а) за полгода; б) среднемесячные; в) в среднем за два месяца.

1.8.2. Среднемесячный темп инфляции в течение года составлял 4%. Определите индекс и темп инфляции: а) за квартал; б) за полгода; в) за год.

1.8.3. В течение года каждый квартал цены росли соответственно на 10, 15, 8 и 12%. Определите индекс и темп инфляции:

а) за год; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

1.8.4. На сумму в 10 тыс. руб. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 30% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 7, 5 и 4%. Найдите наращенную сумму с учетом инфляции и величину годовой положительной процентной ставки.

1.8.5. В стране годовой индекс инфляции составил 900%. Определите среднемесячный и средний ежедневный темпы инфляции. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способности, если год полагать равным 360 дням?

1.8.6. В некоторой стране годовая гиперинфляция составила 80 миллионов процентов. За какое время деньги теряли четвертую часть своей покупательной способности, если год считать равным 360 дням?

1.8.7. Доход от финансовой операции, проведенной в течение полугода, составил 30 тыс. руб., причем было вложено в операцию 120 тыс. руб. Среднемесячный темп инфляции в это время составлял 1%. Определите реальную норму прибыли финансовой операции с учетом инфляции.

1.8.8. В результате инвестирования в некоторый проект 35 тыс. руб. через 3 года получено 70 тыс. руб. Темпы инфляции по годам соответственно составили 30, 15 и 20%. Определите реальную норму прибыли от инвестирования с учетом инфляции. Какова норма прибыли при отсутствии инфляции?

1.8.9. В течение трех лет предприятие имело следующие показатели относительно вложенного капитала, при условии, что вся прибыль реинвестируется: 1-й год - 80% прибыли, 2-й год -10% убытков, 3-й год - 60% прибыли. Какова общая прибыль на вложенный капитал (в процентах) с учетом среднегодового темпа инфляции в 20%?

1.8.10. В результате инвестирования первоначальный капитал за первые два квартала вырос в 1,5 раза, за третий квартал общий капитал вырос в 1,3 раза и за четвертый квартал вся сумма увеличилась в 1,1 раза. Определите, на сколько процентов реально увеличилась первоначальная сумма по своей покупательной способности, если среднемесячный темп инфляции составлял 2%.

1.8.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,16; 1,09; 1,12 и 1,22. При какой среднемесячной инфляции вклад за это время реально (по своей покупательной способности): а) увеличится на 10%; б) не изменится?

1.8.12. Господин N купил дом в январе 1986 г. за 18 тыс. руб. и продал его в январе 1991 г. за 250 тыс. руб. Инфляция по годам, с 1986 по 1990 г. включительно, составляла соответственно 15, 20, 40, 60, 200%. Выиграл или проиграл господин N и на сколько процентов?

1.8.13. В финансовом соглашении были предусмотрены следующие процентные ставки на год: за первый квартал - 26% годовых; за второй квартал - 30% годовых; за третий и четвертый квартал - 35% годовых. Темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 8, 5, 6 и 3%. Определите множитель наращения за год с учетом инфляции, если в течение года начисляются простые проценты.

1.8.14. Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 30% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал - до 40% годовых. Определите реальную величину (по своей покупательной способности) процентов, начисленных за год на вклад 20 тыс. руб., если темп инфляции каждый квартал составлял 6%

1.8.15. На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись простые процента! по следующим процентным ставкам: в первом квартале - 38% годовых, во втором - 44% годовых, в третьем - 50% годовых и в четвертом - 54% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 1, 2, 1,5 и 0,5%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

1.8.16. Господин N получил в банке ссуду на два года под процентную ставку 36% годовых. В первый год индекс цен составил 1,3; во второй - 1,2. Определите, во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начислял простые проценты. Каков будет ответ при отсутствии инфляции?

1.8.17. Банк выдал ссуду на 75 дней в размере 700 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых. Рассчитайте реальный доход банка с учетом инфляции, если темп инфляции за это время составил 8% и при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

1.8.18. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 40%, а за второй год вся сумма увеличится на 30%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 35% от суммы предыдущего года. Сколько процентов составит реальная прибыль по каждому варианту при ожидаемом ежегодном темпе инфляции 20%?

1.8.19. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 30% годовых при годовом темпе инфляции в 16%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 30% годовых?

1.8.20. Определите реальную простую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 36% годовых и годовой индекс инфляции составил 1,26. Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки? Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки, обеспечивающая реальную доходность в 36% годовых?

1.8.21. Определите реальную простую учетную ставку, если номинальная годовая учетная ставка равна 30% годовых и годовой индекс инфляции составил 1,2. Чему должна быть равна величина учетной ставки, обеспечивающая реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 30% годовых?

1.8.22. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 60 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 15% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 30%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

1.8.23. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 50 тыс. руб. на 9 месяцев. При ожидаемом среднемесячном темпе инфляции 3% банк хочет обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 20% годовых. Какая простая про-

центам ставка по кредиту должна быть установлена? Какова будет величина погашаемой суммы?

1.8.24. Выдан кредит в размере 100 тыс. руб. с 19 февраля по 6 ноября того же года под простую процентную ставку при условии начисления: а) обыкновенных процентов с точным числом дней; б) точных процентов с точным числом дней. Ожидается, что индекс цен к моменту погашения кредита составит 1,4. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 25% годовых? Какова будет величина погашаемой суммы? Выполните расчеты, полагая год невисокосным.

1.8.25. Предприниматель получил ссуду с 15 февраля по 14 ноября того же года под простую процентную ставку 70% годовых. Во сколько раз вырос реальный долг (по своей покупательной способности) при начислении обыкновенных процентов:

а) с точным числом дней; б) с приближенным числом дней, если за срок ссуды темп инфляции составил 42,6% и год високосный?

1.8.26. Господин N, владея 30 тыс. руб., хочет получить, положив деньги на депозит, через год не менее 35 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обратиться в банк, применяющий простую процентную ставку 42% годовых, если прогнозируемый темп инфляции в году равен 15%?

1.8.27. Вкладчик намеревается поместить в банк 9 тыс. руб. на 240 дней на условиях начисления простых обыкновенных процентов. Какова должна быть процентная ставка, обеспечивающая накопление 10 тыс. руб. (рассматриваемых с точки зрения сохранения их покупательной способности), если предполагаемый ежемесячный темп инфляции равен 3%?

1.8.28. Банк выдал кредит на 6 месяцев по простой процентной ставке 42% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде годовой процентной ставки, если простые обыкновенные проценты начислялись на исходную сумму кредита и ежемесячный темп инфляции составлял 2%.

1.8.29. Под какую простую годовую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,25 раза за 9 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 2%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

1.8.30. Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 30% годовых, через каждые два месяца увеличивалась на 2,5%. Определите реальную величину (по своей покупательной способности) наращенной за год суммы с учетом уплаты налога на проценты, если величина вклада - 20 тыс. руб., среднемесячный темп инфляции - 2% и ставка налога на проценты равна 12%.

1.8.31. В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500% годовых или на долларовый депозит под 35% годовых. Инфляция тогда составляла примерно 900%. Выясните, какой из депозитов был предпочтительнее, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а в конце - 1250 руб. за 1 доллар.

1.8.32. Банк выдает клиенту кредит на 3 месяца, в течение которых, по оценкам экспертов, ежемесячный индекс инфляции составит 1,015. Начисление процентов осуществляется по простой учетной ставке. Найдите значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой 22% годовых. Какова должна быть учетная ставка, обеспечивающая в условиях инфляции реальную доходность, определяемую простой процентной ставкой в 22% годовых?

1.8.33. При учете векселей в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая простой учетной ставкой, равной 30% годовых. Какую простую учетную ставку в этом случае нужно применить, если ожидаемый темп инфляции составляет 4% в месяц и вексель предъявлен для учета за 2 месяца до срока его погашения?

1.8.34. Вексель учитывается в банке за 4 месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции 3,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 42% годовых?