Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. 

Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности.

В этом случае окружность вписана  в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Каждый угол правильного треугольника равен 60 градусов. 

Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой. 

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна а.

Высота правильного треугольника:  Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:  . 

Радиус описанной окружности в два раза больше:  . 

Площадь правильного треугольника:  .

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника:  .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где а — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.  Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.  Он равен  .