11. Перетворення неоднорідних (гу) у дифузійних задачах в однорідні

(ДРЧП)

(ГУ) (неоднорідні)

(ПУ) ,

Розглянемо задачу про поширення тепла в стержні, кінці якого підтримуються при сталих температурах:

(ДРЧП) , ,

(ГУ) , (ПУ) ,

При розв'язок задачі прямує до стаціонарного розв'язку, який лінійно змінюється (вздовж x) від температури до температури :

У даному випадкові - знаходження перехідної температури . Підставивши отримаємо:

(ДРЧП) , ,

(ГУ) ,

(ПУ)

де - нова, але відома початкова умова.

Отримана задача розв’язується методом відокремлення змінних:

.

12. Задача коші для рівняння теплопровідності

Задача про поширення тепла в необмеженому однорідному стержні, бічна поверхня якого теплоізольована, математично формулюється так. Знайти обмежену функцію ( ), яка задовольняє рівнянню теплопровідності ( ) і ПУ ( ), де неперервна обмежена функція. Скориставшись методом відокремлення змінних, отримуємо:

, де довільний параметр. Проінтегрувавши (9) за параметром отримаємо:

. Поклавши , отримаємо . Порівнявши:

Покласти , .

Підставивши

або, змінивши порядок інтегрування, Внутрішній інтеграл можна обчислити. Дійсно, покладемо Звідки

Тому

Диференціюючи інтеграл за параметром , знаходимо, що

Інтегруючи за частинами, отримуємо

, Звідки . Щоб знайти сталу С, покладемо тут . Це дає

. Отже , і .

Підставивши знаходимо Формулу називають формулою Пуассона. Вона є розв’язком задачі Коші.

13. Граничні умови в задачах дифузійного типу

1. Гу І-го роду (на кінці задано t);

Розглянемо теплову енергію у одновимірному просторі:

U(t,0)=g₁(t);

U(t,L)=g₂(t);

Задачі з ГУ І-го роду зустрічаються досить часто. У деяких випадках суть задачі полягає у тому, щоб знайти керування ГУ, тобто такі g₁(t), та g₂(t), що змушують температуру в середині стержня змінюватися заданим чином.

2. ГУ- ІІ-го роду

З адано t оточуючого середовища. Припустимо, що ми знову розглядаємо теплоізольований мідний стержень, але тепер відмовимося від заданого температурного режиму.

Задаючи ГУ цього типу ми не можемо вважати граничною температурою стержня такою, як у середовищі, але ми знаємо закон Ньютона.

Якщо t одного кінця стержня менша ніж на другому кінці, то тепло буде надходити у стержень зі швидкістю, яка пропорційна різниці температур

в.т.т.л.к=h [U(t,0)-g₁(t)];

в.т.т.л.к==h [U(t,L)-g₂(t)];

h- коєфіцієнт теплообміну. Отримані рівності разом із законом теплопровідності Фур’є можна використати для запису граничних умов. Закон Фур’є:

Течія тепла, яка проходить через межу області є пропорційною нормальній похідній у напрямку внутрішньої нормалі

в.т.т.л.к=k

в.т.т.л.к=- k

k – коєфіцієнт теплопровідності

Можемо записати ГУ у математичному вигляді. Маємо:

= [U(t,0)-g₁(t)];

=- [U(t,L)-g₂(t)];

3. ГУ ІІІ-го роду. Задано течію, зокрема включимо випадок теплоізольваних меж. Через теплоізольовані межі не проходить ніяка течія, а тому нормальна похідна на межі має набувати нульового значення.

U_x(t,0)=0;

U_x(t,L)=0. 0<t<+∞;