1.8 Требования к математическим моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования универсальности, точности, адекватности и экономичности.

Универсальность математической модели характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель обычно отражает лишь некоторые свойства объекта, например, протекающие в нем физические или информационные процессы, без учета геометрической формы составляющих объект элементов или наоборот.

Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений действительных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью математической модели. Пусть отражаемые в математической модели свойства оцениваются вектором выходных параметров . Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью математической модели значения -го выходного параметра через и соответственно, можно определить:

- абсолютную погрешность расчета параметра :

;

(3)

- относительную погрешность расчета параметра :

.

(4)

Получаемую таким образом векторную оценку погрешности, например, , можно свести к скалярной, используя какую-либо норму вектора, например:

или

.

Адекватность математической модели – это ее способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Обычно адекватность математической модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внутренних параметров, называемой областью адекватности:

,

(5)

где – заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию, например, затратами машинного времени, объемом машинной памяти, средним количеством операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерностью системы уравнений, количеством внутренних параметров модели и т.п.

Требования высокой точности, универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, что обусловливает практическое применение широкого спектра математических моделей.

2 Типы математических моделей

2.1 Структурные модели

Структурная модель системы – это совокупность конкретных элементов данной системы, необходимых и достаточных отношений между этими элементами и связей между системой и окружающей средой.

При структурном моделировании устанавливаются конкретные функциональные связи между входными, внутренними и выходными параметрами модели.

Различают четыре вида структурных моделей: пространственные, временные, физические и иерархические.

Пространственные структурные модели обычно используются для описания топологии (расположения в пространстве его отдельных элементов) и геометрии объекта моделирования.

В машиностроении топологические задачи – это задачи компоновки оборудования, планировки цеха, трассировки сборочных соединений, размерного анализа, разработки схемы технологического процесса и др. Такие модели удобно описывать с помощью графов (см. п. 1.4). Например, при разработке технологического процесса начальное, конечное и промежуточные состояния детали можно представить вершинами графа, а пути перемещения со станка на станок – дугами, соединяющими вершины. Геометрические задачи решают в основном при проектировании изделий и оформлении технической документации.

Во временных структурных моделях в качестве элементов выступают этапы происходящего процесса или состояния системы в некоторый момент времени. Отношениями здесь служат условия перехода от одного этапа к другому или из одного состояния системы в другое. Примером может служить широко применяемый на производстве так называемый сетевой график, представляющий собой граф, вершинами которого служат необходимые производственные операции, а с помощью ребер указывается последовательность и длительность этих операций.

Физические структурные модели применяются для описания сложных физических свойств исследуемого объекта с помощью простых структурных элементов. Например, структурную модель абсолютно твердого тела сложной формы, движущегося и (или) подвергающегося нагрузкам, можно представить в виде совокупности материальных точек, соединенных недеформируемыми стержнями.

Иерархические структурные модели применяют при описании систем, в которых присутствуют несколько уровней обработки информации. Основная задача такой модели – распределение функций обработки информации между отдельными элементами. В частности, элементы более высокого уровня иерархии могут определять правила формирования отношений между элементами более низкого уровня. Примером иерархической структурной модели может служить история создания детали или сборки в CAD-системе. На нижнем уровне располагаются геометрические примитивы (базовые геометрические объекты). На всех последующих уровнях могут располагаться составные объекты. На верхнем уровне иерархии находится результирующий объект (деталь или сборка).

При построении структурных моделей широко применяются методы анализа и синтеза.

Основной операцией при анализе является декомпозиция – разложение системы на отдельные элементы. Проблема декомпозиции – ее возможная неоднозначность, т.е. одну и ту же систему часто можно разбить на различные подсистемы и элементы в зависимости от опыта исследователя и от применяемой методики анализа.

Основная операция при выполнении процедуры синтеза – агрегирование – объединение группы элементов в единое целое. Система, полученная в результате данной операции, называется агрегатом.

Агрегат часто приобретает новые свойства, которых нет ни у одного из элементов, взятых в отдельности. Другими словами, объединение элементов в систему влечет появление нового качества, которое не могло появиться без этого объединения. Такое «внезапное» появление новых качеств у агрегата получило название эмерджентности (от англ. emergent – внезапно возникающий). При этом считается, что чем больше свойства агрегата отличаются от свойств его элементов, тем выше самоорганизация системы. Изучением проблем самоорганизации систем занимается специальная наука – синергетика.

В ГОСТ 14.416-83 определяется ряд структурных моделей объектов проектирования, представленных строками булевой матрицы [9]:

(6)

где – свойства моделей, влияющие на содержание проектирования, а – набор свойств;

, если все графы объектов проектируемых по данной модели, суть простые цепи (не содержащие повторяющихся вершин),  если непростые цепи;

– набор свойств, учитывающий число элементов во всех вариантах построения объекта ( – число элементов одинаково, – неодинаково);

– набор свойств, учитывающих отношение между любыми элементами объекта во всех его вариантах ( – отношение не меняется, – отношение меняется);

– набор свойств, учитывающих состав элементов в объекте ( – состав одинаков, – состав неодинаков).

Рассматривая матрицу (6), можно отметить, что модели класса являются табличными. В них каждому набору свойств соответствует единственный вариант проектируемого объекта; поэтому табличные модели используются для поиска стандартных, типовых или готовых проектных решений. Модели остальных классов используют для получения типовых унифицированных и индивидуальных проектных решений. Модели классов , , , , являются сетевыми. Структура элементов сетевой модели описывается ориентированным графом, не имеющим ориентированных циклов. В такой модели может содержаться несколько вариантов проектируемого объекта, однако во всех вариантах отношение порядка между входящими элементами не меняется. Модели классов , , , , , являются перестановочными. Отношение порядка между элементами в перестановочных моделях обычно задается с помощью графа, содержащего ориентированные циклы. Причем все варианты объекта, проектируемого по перестановочным моделям, различаются порядком между входящими в них элементами.

В частности, в технологии машиностроения в качестве объекта проектирования рассматривается технологический процесс, а элементами объекта считаются технологические операции.