3) Производная сложной функции
Теорема:
1) Пусть y=f(x),
f:E→R
, z=g(y),
g:G→R,
из них
составляется сложная функция. 2) Существуют
конечные
,
тогда существует
.
Производная сложной функции по
окончательному переменному равна
произведению производной функции по
промежуточному переменному на произведение
промежуточного переменного по
окончательному.
Док-во:
рассмотрим
,
при этом
получит
,
перейдет
в значение равное
.
Пример:
,
,
(12)Связь между существованим производной и касательной
1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
а)
существует наклонная касательная к
графику функции
y=f(x)
в точке
,
то существует и конечная производная
б) докажем, что из
существования
существование
касательной к графику функции y=f(x)
в точке М.
Доказательство:
Существует
,
,
то есть в любом случае существование
какой-либо производной влечет за собой
существование касательной (наклонной
или вертикальной).
в)Следствие:
Существование
наклонной касательной в
существованию
конечной производной
.
В б) показано, что
существование производной влечет за
собой существование касательной, причем
если производная
,
то касательная вертикальна, заметим,
что из существования касательной еще
не следует существование производной
с учетом а) это относится к случаю с
вертикальной касательной.
Пример:
В
есть касательная Ох
но производной нет.
2)Односторонние производные и касательные
Определение:
Предельное
положение секущей при
справа(слева),
называется правой(левой) касательной
к графику функции y=f(x)
в точке
Определение:
Правой(левой) производной функции f(x)
в точке
называется
,
обозначается
;
существование обычной производной (и+
и-),
существованию и совпадению обеих
односторонних производных.
Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
(13)Дифференциал функции, его геометрический смысл.
1)Определение:
Функция f(x)
называется дифференцируемой в точке
,
если её приращение в этой точке можно
представить в виде
(1),
где А-const.
-
линейно относительно
и отличается от приращения функции на
бесконечно малую величину
;
поэтому
-
главная линейная часть приращения
функции.
Определение: Если
функция f(x)
дифференцируема в точке
,
то главную линейную часть её приращения
называют дифференциалом функции в точке
,
с приращением
;
обозначается:
.
dy=
(2)
Теорема: Утверждение,
что f(x)
дифференцируема в точке
утверждению,
что
конечная
,
причем в 1 в роли A.
Доказательство:
:Итак,
функция дифференцируема
выполнено
1.
доказано.
Доказательство:
:
Пусть
конечная
,
докажем тогда по формуле для полного
приращения функции
,
где
-
конечная,
-
.
Сравнивая с 1, видим, что функция
дифференцируема, причем
=А
доказано.
Замечание: Так
как дифференцируемость
конечная
,
часто вместо дифференцируемость говорят
производная, поэтому процесс нахождения
производной называют дифференцированием.
-
дифференциал, и обозначается
,
поэтому с учетом теоремы:
Замечание2: Из
2)Геометрический смысл дифференциала:
Таким образом, дифференциал это
приращение ординаты касательной.
