(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
Определение 1:
Функция
называется непрерывной в точке
относительно множества
,
если
Замечание 1:
Если в точке функция непрерывна, то в силу свойств предела она однозначна, поэтому в дальнейшем непрерывные функции будем считать однозначными.
Замечание 2:
Если понятно относительно какого множества непрерывность, то это множество не указываем.
Определение 2:
Функция
называется непрерывной в точке
относительно множества
,
если
Замечание:
В данном случае не
обязательно требовать, чтобы
,
т.к. при
выполняется автоматически.
Определение 3:
Функция
называется непрерывной в точке
относительно множества
,
если
Пусть
,
обозначим
,
тогда
тогда по определению
1 функция непрерывна в точке
относительно
,
когда
,
Если функция непрерывна в каждой точке множества , то говорят, что функция непрерывна на множестве
Свойства функций:
1) Общие свойства
1 св.) Пусть
непрерывна в точке
относительно множества
,
,
тогда
непрерывна в точке
относительно множества
Доказательство:
2 св.)
непрерывна
в точке
относительно множества
равносильно
непрерывности функции в точке
относительно
Доказательство:
По §3.4 св. 5
3 св.) Пусть
,
,
тогда непрерывность относительно
равносильна непрерывности в точке
как относительно
,
так и
Замечание:
Если точка в св. 3 является предельной только для одного из множеств и , то непрерывность относительно равносильна непрерывности относительно именно в этой точке.
4 св.) (предельный переход под знаком непрерывности функции)
1. Если
непрерывна в точке
относительно
,
2.
,
тогда
или
Следствие:
(теорема о непрерывности сложной функции)
1. Если
непрерывна в точке
относительно множества
,
,
2.
непрерывна в точке
,
,
тогда
непрерывна в точке
относительно множества
5 св.) Если
непрерывна в точке
относительно множества
,
тоже непрерывная функция в точке
относительно множества
Доказательство:
По §3.7 следствие теоремы о двух милиционерах
6 св.) (непрерывность результатов арифметических действий на непрерывных функциях)
Если
и
непрерывны
в точке
относительно множества
,
то:
непрерывны в точке
,
относительно множества
(следует из §3.6 и определения непрерывности)
Следствие:
Многочлен и дробно-рациональные функции непрерывны во всех точках своей области определения.
Доказательство:
непрерывна
непрерывен
непрерывен. Т.к. каждый многочлен –
непрерывная функция
тоже непрерывна
2) Односторонняя непрерывность
Определение:
называется
непрерывной в точке
относительно множества
справа (слева), если
непрерывна в точке
относительно множества
Теорема:
Пусть
,
тогда для того чтобы функция была
непрерывна в точке
относительно
,
необходимо и достаточно чтобы она была
непрерывна в точке
и справа и слева
Доказательство:
По §3.4, св. 6