§20. Квазиклассическое приближение в статистической физике

Мы говорили, что состояние квантово-механической системы описывается каноническим распределением:

, где - номер состояния

Потом учли, что энергетические уровни близко расположены друг к другу и ввели вместо дискретного спектра – непрерывный:

Ввели функцию

В нормировке функции перешли к интегралу:

- это число состояний в интервале энергий

Здесь - плотность состояний с энергией на единичный интервал энергии.

Мы вместо часто пользуемся функцией :

, где

Функция - размерная. Величина имеет размерность , тогда объёмчик имеет размерность . Значит, функция имеет размерность

Поэтому удобно ввести величину:

, - число степеней свободы системы

Тогда:

(здесь уже безразмерные величины)

При имеем квазиклассическое приближение. В этом случае характеризует величину числа состояний в интервале .

Как же посчитать число состояний при переходе из фазового пространства в квазиклассическое представление?

В квантовой механике:

т.е. это точность, с которой определяется фазовая точка в фазовом пространстве.

Но фазовая точка определяет состояние, тогда это точность, с которой определяется состояние:

- это площадка, описывающая состояние.

-точнее этого мы состояние не определим.

Более точные измерения дают:

- такая площадка выделяется на фазовую точку (в случае, когда - одна степень свободы).

- это объём, приходящийся на одно состояние в квазиклассическом приближении, при степенях свободы.

Тогда:

где - элементарный объём фазового пространства, а - объём на одно состояние, следовательно - число состояний.

Тогда в квазиклассическом приближении каноническое распределение выглядит так:

Множитель возникает по следующим причинам:

В квантовом случае - суммирование по числу состояний, и мы учитывали нетождественные перестановки. Но интегрирование по фазовому пространству не чувствительно к тождественным перестановкам – не выбрасываем их, поэтому возник множитель - учитывающий тождественные перестановки. Это имеет место при переходе в квазиклассическое приближение.

Замечание:

Принцип тождественности оказывает влияние только на расчёт статистического интеграла , при расчёте средних он не влияет.

Каноническое распределение для квантовых систем имеет вид:

- суммирование по квантовым состояниям

При переходе в квазиклассику, используя переход , получаем для вероятности состояния (здесь индекс не проставлен):

где и ,

- это вероятность того, что фазовая точка с координатами попадает в элементарный объём в фазовом пространстве.

Мы писали:

под понимаем

О чевидно, что константу можно выкинуть, если рассчитывать средние через вероятность, при переходах:

т.к. константа не влияет на расчёт средних.

Часто рассматривают случай, когда квазиклассичность имеет место не по всем степеням свободы, а лишь по некоторым. Тогда суммируем по квантовым степеням свободы и интегрируем по квазиклассическим степеням свободы, т.е. имеем «гибрид»:

и в этом случае имеется и статистическая сумма и статистический интеграл.