§4. Свойство эргодичности системы.
Итак, мы рассматриваем такие функции:
Параметр
испытывает флуктуации – отклонения от
некоторого среднего значения в течение
времени. На ряду с зависимостью
от
можно ввести характеристику – вероятность
того, что
лежит в интервале
:
Как получить эту вероятность? Очевидно, если у нас стоит:
то мы можем посчитать сумму всех
промежутков времени
,
в течение которых
попадает этот интервал.
То есть мы подсчитываем длительность пребывания в слое .
О
казывается,
что если все
одинаковые, то
.
Так же оказывается, что
,
где
- время наблюдения.
Тогда:
(*)
Это вероятность того, что случайная
величина
лежит
в пределах
Плотность вероятности:
Здесь - это не случайная величина, а параметр. Случайной величиной является . С помощью (*) мы можем найти среднее по времени значение наблюдаемой величины.
§5. Два способа усреднения в статистической физике
Будем иметь дело со стационарными процессами.
Рассмотрим случайную величину
,
где
и
это динамические переменные (их
штук). Но можно рассматривать и случайную
величину
,
где
- время (это одна переменная).
Усреднение по времени производим так:
(**)
Если - случайная величина, то её усреднение соответствует усреднению по фазовой траектории в фазовом пространстве.
Зависимость координат от времени в фазовом пространстве определяется фазовой траекторией.
Усреднение по времени имеет основой эксперимент, т.к. экспериментатор наблюдает случайную величину во времени.
Назовём
временем релаксации. Если T»
,
то предел (**) хорошо согласуется с
практикой. И тогда принимают
.
Усреднение по времени, однако не удобно в теории, это усреднение по одной реализации.
Другое усреднение – статистическое. Оно основано на усреднении случайной величины как функции и .
Каждой точке фазового пространства ставится в соответствие величина ( как функция и ). Потом вводится вероятность попадания этой точки в элементарный объём фазового пространства:
здесь
- элементарный объём фазового пространства.
Говорят, что
- это функция распределения, определяющая
плотность вероятности попадания точки
в элементарный объём.
И вводится понятие статистического среднего, или среднего по ансамблю:
§6. Понятие ансамбля систем
Имеем совокупность макроскопических идентичных систем, именуемых ансамблями. Можем говорить, что конкретная точка фазового пространства соответствует конкретному состоянию одной из систем этого ансамбля.
У систем может быть различное динамическое состояние, так как точки перемещаются в пространстве. Хотя число точек, поля и т.п. у систем будут одинаковыми. Это и будет ансамблем, если таких систем будет неограниченно много.
Часто, т.к. рассматриваются стационарные
процессы, то фазовая траектория очень
длинная (бесконечная), тогда говорят,
что фазовую траекторию, при рассмотрении
предела
,
можно разбить на достаточно длинные
траектории, которым можно приписать
системы из ансамбля.