Экзаменационные вопросы и задачи по курсу “Статистическая физика” (минимум)

1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы.

2. Два способа усреднения в статистической физике.

3. Эргодическая гипотеза.

4. Теорема Лиувилля

5. Микроканоническое распределение Гиббса.

6. Каноническое распределение Гиббса

7. Квазиклассическое приближение в статистической физике.

8. Использование распределение Максвелла для расчета средних:

9. Распределение Ферми-Дирака.

10. Распределение Бозе-Эйнштейна.

11. Расчет импульса Ферми для электронного газа при Т=0.

Задачи:

Задача 1. Вероятность того, что и лежат в интервалах: и дается выражением:

Считая, что областями измерения переменных и является и , найти константу нормировки .

Задача 2. Используя распределение Максвелла, найти:

а) ;

б) ;

в) (наиболее вероятное значение величины скорости);

Задача 3: Используя распределение Максвелла, найти дисперсию кинетической энергии , где .

Задача 4. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном поле тяжести, если ускорение поля тяжести , масса молекулы , температура .

Решение задач по курсу “Статистическая физика”

Задача 1. Математический маятник совершает гармонические колебания по закону

Найти вероятность того, что при случайном измерении отклонения маятника это значение будет лежать в интервале .

Решение. Запишем закон колебания в виде: , где . Тогда нам надо найти вероятность .

Из рисунка видно, что

Обозначим

Как и ожидалось, площадь под кривой равна 1.

Ответ. , где

Дополнение. В общем случае график зависимости может не выражаться через линейные функции. Например:

Тогда необходимо подсчитать время, в течении которого параметр начодится в заданном интервале значений:

Гамма-функция Эйлера

Свойства:

Задача 2. Вероятность того, что и лежат в интервалах: и дается выражением:

Считая, что областями измерения переменных и является и , найти константу нормировки .

Задача 3. Определить вероятность того, что значение величины будет лежать в интервале .

Решение. Условие нормировки:

=1

Переходим к полярным координатам: якобиан перехода:

Первому рисунку отвечает функция распределения ;

второму - ; третьему -

Аналогично:

Ответ:

Задача 4. Найти дисперсию энергии в случае канонического распределения Гиббса.

Решение.

Аналогично:

.

Однако:

(при )

Ответ: ; При .

Задача 5. Найти дисперсию числа частиц в случае большого канонического распределения Гиббса.

Решение.

Видно, что

;

Ответ: ; .

Задача 6. Используя распределение Гиббса: получить различные формы распределения Максвелла:

1. вероятность того, что скорость любой частицы заданной системы лежит в интервалах , , ;

2. вероятность того, что абсолютная величина скорости лежит в интервале ;

3. вероятность того, что кинетическая энергия любой частицы лежит в интервале ;

Решение: 1) ,

Так как , , статистически независимы, то:

Из условия нормировки:

Аналогично: ;

;

Для нахождения перейдем к сферическим координатам:

Найдем из условия нормировки:

Сделаем замену переменных: . Тогда ;

,

где

Таким образом,

2)

,

, где

, где

4)

Ответ: ,где

, где

Задача 7. Используя распределение Максвелла, найти:

а) ;

б) ;

в) (наиболее вероятное значение величины скорости);

Решение: ,

Сделаем замену переменных:

Если - четное :

Если -нечетное :

б) ,

Сделаем замену переменных: ;

Тогда:

в) Ищем экстремум функции :

Ответ: Если -четное :

Если -нечетное :

; ; ;

Задача 8. Используя распределение Максвелла, найти дисперсию скорости и среднее квадратичное отклонение .

Решение:

Задача 9. Найти и наиболее вероятное значение кинетической энергии частицы .

Решение: Условимся решать задачу в СГС (к=1).

, где

Обозначим: . Тогда , где

Найдем как экстремум функции :

Ответ: ;

Задача 10: Используя распределение Максвелла, найти дисперсию кинетической энергии , где .

Решение:

Задача 11. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютную величину скорости относительного движения в интервале . Найти .

Решение: Условимся решать задачу в СГС (к=1).

Вероятность того, что 1 частица имеет скорость , а вторая – скорость :

Переходя к сферическим координатам:

Из условия нормировки найдем :

Сделаем замену переменных: , ;

Перейдем к новым переменным: - относительная скорость;

- скорость центра масс;

- полная масса;

- приведенная масса;

Учтем, что получим:

;

Ответ: ;

Задача 12. Используя распределение Гиббса, найти для идеального газа, помещенного во внешнее потенциальное силовое поле , вероятность того, что координаты любой частицы будут лежать в интервалах , , .

Решение.

Если (поле тяжести)

Число таких частиц в единице объема: .

Здесь , где интеграл находится в пределах объема.

Ответ.

Задача 13. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном поле тяжести, если ускорение поля тяжести , масса молекулы , температура .

Решение. Воспользуемся предыдущей задачей:

В СИ:

Ответ.

47