- •1. Опишите свойства алгебраических и трансцендентных уравнений. 3
- •Опишите свойства алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •2. Для чего производится процедура отделения корней и предварительное исследование уравнений. Приведите пример.
- •3. Приведите примеры известных вам способов исследования нелинейных уравнений.
- •4. Опишите основные свойства прямых и итерационных методов решения уравнений.
- •5. Что понимают под сходимостью итерационной процедуры? Ответпоясните примерами.
- •6. Что такое область сходимости применительно к итерационной процедуре?
- •7. Поясните, что такое скорость сходимости и как она связана с эффективностью метода.
- •8. Опишите метод половинного деления.
- •9. Опишите метод хорд. Назовите его достоинства и недостатки.
- •10. Опишите метод секущих. Дайте его сравнительную характеристику.
- •11. Опишите метод касательных (Ньютона). Укажите его достоинства и недостатки.
- •12. Опишите метод простой итерации. Дайте его характеристику.
- •13. Приведите пример итерационного метода, использующего квадратичную интерполяцию для решения нелинейных уравнений на эвм.
- •14. Какие специальные методы применяются для решения алгебраических уравнений?
- •15. Почему на практике часто применяют комбинированные алгоритмы, включающие в себя различные методы отыскания корней?
- •16. Расскажите об особенностях представления чисел в эвм. Каквлияет способ представления чисел в эвм на точность расчетов?
- •17. Что такое машинный нуль, машинная бесконечность имашинное ε ? Как эти параметры влияют на точность расчетов на эвм?
- •18. Для чего используется нормировка уравнений при их решении наЭвм?
- •19. Назовите три основных источника погрешностей при решении задач на эвм, их природу и способы уменьшения.
4. Опишите основные свойства прямых и итерационных методов решения уравнений.
Методы численного решения системы (1) делятся на две группы: прямые методы («точные») и итерационные методы.
Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы (1) за конечное число арифметических операций. К этим методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т.д.
Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы (1) находится как предел последовательных приближений при , где nномер итерации. При использовании методов итерации обычно задается некоторое малое число 0 и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка . К этим методам относятся метод Зейделя, Якоби, метод верхних релаксаций и т.д.
Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т.к. все арифметические операции над переменными с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных величин.
5. Что понимают под сходимостью итерационной процедуры? Ответпоясните примерами.
Итерационный процесс - последовательное приближение и проверка условия достижения искомого результата. В итерационных алгоритмах необходимо обеспечить обязательное достижение условия выхода из цикла (сходимость итерационного процесса). В противном случае произойдет зацикливание алгоритма.
Проверка сходимости итерационного процесса выполняется по относительным приращениям обобщенных деформаций на данной итерации. Большее из двух относительных приращений обобщенных деформаций сравнивается с заданным критерием сходимости. В случае неудовлетворения заданному критерию итерационный цикл повторяется. В противном случае итерационный процесс заканчивается и найденные на последней итерации компоненты напряжений и жесткости сечений являются окончательными расчетными. [1]
Критерием сходимости итерационного процесса является сравнение двух последующих величин сх и су.
Пример в курсовой – сравнение abs(f)<0.00001
6. Что такое область сходимости применительно к итерационной процедуре?
Говорят, чтоитерационный процесс сходится, если при выполнении последовательных итераций получаются значения корней, все ближе и ближе приближающиеся к точному значению корня. В противном случае итерационныйпроцесссчитается расходящимся. Перепишем для удобства уравнение (1) в виде:
(3)
что можно получить путем замены: . Пусть – нулевое приближение, т.е. начальное приближенное значение корня уравнения (3). Тогда в качестве следующего, 1-го, приближения примем
следующим, 2-м, приближением будет
и т.д., в качестве n-го приближения примем
(4)
Здесь возникает главный вопрос: приближается ли к истинному решению уравнения (3) при неограниченном возрастании n ? Иными словами, сходится ли итерационный процесс (4) ?
Уловия сходимости метода итераций [2]: если при всех значениях , вычисляемых в процессе (4) решения задачи: 1) , то итерационный процесс сходится; 2) , то итерационный процесс расходится.
Если производная в некоторых точках по модулю меньше 1, а в других точках – больше 1, то ничего определенного о сходимости итерационного процесса сказать нельзя. Он может как сходиться, так и расходиться.
Если итерационный процесс расходится, то причиной этого часто является неудачный выбор нулевого приближения. Так, на рис. 1 показано, что выбор нулевого приближения существенно влияет на сходимость итерационного процесса. Это напрямую связано с тем, находится ли нулевое приближение в области, где выполняются условия сходимости итерационного процесса.
Рис. 1. Зависимость сходимости итерационного процесса от выбора нулевого приближения
Процесс (4) считается завершенным, если – заданная точность решения.