Пример 2 (4.1)

Решите уравнение

Решение

1 - ,

t² – 6t +5 = 0;

D = 36 – 20 = 16>0;

+

+

Пример 3 (5.1)

Решите уравнение - = .

Решение

- = ,

+

1 –

.

Обозначим

2t² –t – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9,

t₁ =

1. = - ,

(-1)ⁿ⁺¹ + ,

(-1)ⁿ⁺¹ + .

2. ,

+

(-1)ⁿ⁺¹ + ,

5. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

Данное выражение представляется в виде произведения нескольких сомножителей. В случае, когда выражение равно нулю, каждый из них приравнивается к нулю и уравнение сводится к более простому.

Пример 1 (4.27)

Решите уравнение

Решение

,

2) +

Ответ: +

Пример 2 (6.23)

Решите уравнение

1 + sin 3x =

Решение

1 + sin 3x =

1 + sin 3x = cos² sin²

1 + sin3x = 1 – sinx,

sin 3x + sin x = 0,

2sin 2x cos x = 0,

sin2x = 0, 2x

cos x = 0, x = +

Ответ: +

2.6 Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.

Его можно решать, выполнив деление на старшую степень косинуса (или синуса).

Пример 1( 4.35)

Найдите все решения уравнения принадлежащих отрезку [-2

Решение

делим уравнение почленно на cosx ( заметим: если в данное уравнение подставить cosx =0, то получим sinx = 0, что невозможно, значит, в результате деления на cosx не будет потери корней) и находим:

tg x = 1, x = +

n = 0, x = [-2

n = 1, x = [-2

n = -1, x = [-2

n = -2, x = [-2

Ответ:

Пример 2( 5.13)

Решите уравнение

6sin² x + sin x cos x – cos² x = 0.

Решение

6sin² x + sin x cos x – cos² x = 0, так как cos ² x 0. То делим почленно на cos² x

6tg ² x + tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда

6t ² + t – 1 = 0; D = 1 + 24 = 25;

=

1. tg x =

2. tg x =

Ответ:

7. Системы тригонометрических уравнений

Решение систем тригонометрических уравнений чаще всего сводится к решению алгебраических систем относительно sin x, cos x, tg x и т.п.

Необходимо отметить, что при решении простейших уравнений нужно писать различные целочисленные параметры n и k. Если бы мы использовали одну и ту же букву, было бы потеряно бесконечное множество решений.

Есть и иной способ решения систем, в котором может использоваться способ выражения одного переменного через другое и подстановка во второе уравнение.

Решение системы записывается в виде упорядоченных пар (x; y).

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (5.15)

Решите систему уравнений

Решение

4y + 10 – 2y = 19,

2y = 9,

y = 4,5;

x = (-1)ⁿ + ;

Ответ: ( (-1)ⁿ + .

2. Логарифмические выражения, уравнения, неравенства, системы

Справочный материал

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b, причем a >0, a ≠ 1, b > 0.

= c , (1)

Основное логарифмическое тождество

(2)

Логарифмическая функция

y=

Свойства

1. D (y) = R₊.

2. E(y) = R.

3. При a > 1 функция монотонно возрастает на R₊ и при 0 <a <1 функция монотонно убывает на R₊.

4. При x= 1 значение функции y = 0.