1. Тригонометрические выражения

1. Рекомендации

Выполняя преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции, пользуются свойствами алгебраических действий над тригонометрическими функциями и основными формулами тригонометрии.

Способ доказательства тригонометрических тождеств состоит в том, чтобы одну из его частей преобразовать с помощью тригонометрических и алгебраических операций таким образом, чтобы в результате получилось выражение, стоящее в другой части доказываемого тождества. Можно убедиться в совпадении левой и правой частей, преобразуя их в отдельности так, чтобы получились одинаковые выражения.

Необходимо внимательно следить, чтобы все преобразования выполнялись в области допустимых значений аргументов данного равенства.

2. Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 14 №3)

Найдите cos x, если sin x = - , .

Решение

Применим основное тригонометрическое тождество

sin² + cos² = 1,

cos² = 1 - sin² ,

cos² = 1 – ( )² = 1 - = ,

Так как - угол III четверти, то cos <0; получим cos = -

Ответ: cos = -

Пример 2 (вариант 44 №3)

Докажите тождество

sin⁴ - cos⁴ + 2 cos² = 1.

Преобразуем левую часть тождества, воспользовавшись формулой разности квадратов тригонометрических выражений.

sin⁴ - cos⁴ + 2 cos² ( sin² - cos² )( sin² + cos² ) + 2cos² = sin² - cos² + 2cos² = sin² + cos² = 1.

1 = 1. Равенство верно для любых значений Тождество доказано.

Пример 3 (4.1)

Вычислите

Решение

=

= - 2sin 60⁰ = -2 Ответ: -

4. Тригонометрические уравнения

1. Простейшие тригонометрические уравнения

При решении тригонометрических уравнений удобно пользоваться таблицей

2.2. Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 1 №3)

Найдите корни уравнения 2sin x + 1 = 0, принадлежащие отрезку [0; 2 ].

Решение

2sin x + 1 = 0,

sin x = - ,

x = (-1)ⁿ arcsin(- ) + ,

x = (-1)ⁿ (- ) + ,

x = (-1)ⁿ⁺¹ + .

Из этих корней промежутку [0; 2 ] принадлежат и так как ,

то n = 0;

n = 0, x = (-1)¹ + [0; 2 ],

n = 1, x = (-1)² + [0; 2 ],

n = -1, x = (-1)⁰ - [0; 2 ],

n = 2, x = (-1)³ + [0; 2 ],

n = 3, x = (-1)⁴ +3 [0; 2 ],

Ответ: ; .

Пример 2 (вариант 3 №3)

Решите уравнение

+ .

Решение

Применим формулу приведения

,

,

Ответ: .

Пример 3 (вариант 26 №3)

Решите уравнение .

Решение

,

Ответ:

3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Чтобы овладеть методом решения, достаточно уметь решать квадратные уравнения и знать тригонометрические формулы.

Сам метод состоит в том, чтобы преобразовать уравнение к виду, позволяющему функцию обозначить через новую переменную, получив при этом квадратное уравнение относительно t. Найдя значения, получим простейшее тригонометрическое уравнение.

3. Примеры выполнения заданий Пример 1 (4.13)

Решите уравнение 2

Решение

2

2t² – 3t +1 = 0;

D = 9 – 8 = 1>0;

=

1. ,

x = (-1)ⁿ + .

2. 

+

(-1)ⁿ + + ,