4. Построение графиков в Excel и использование функции линейн

Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше примере.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

• Построим график зависимости.

• Построим линию тренда ( _{, ,} ).

• Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.

Рис.4.1. График зависимости y от x

Рис.4.2. График линейной аппроксимации

Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.

Рис.4.4. График экспонентальной аппроксимации.

5.Аппроксимация функции с помощью MathCad

Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам

регрессии. Они обычно возникают при обработке экспериментальных данных,

полученных в результате измерений процессов или физических явлений, статистических

по своей природе (как, например, измерения в радиометрии и ядерной геофизике), или на

высоком уровне помех (шумов). Задачей регрессионного анализа является подбор

математических формул, наилучшим образом описывающих экспериментальные данные.

1. Линейная регрессия

Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и

отсчетов Y функциями:

intercept(X,Y) – вычисляет параметр а1, смещение линии регрессии по

вертикали;

slope(X,Y) – вычисляет параметр a2, угловой коэффициент линии регрессии.

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) =

a1+a2*x.

Функция corr(Y,y(x)) вычисляет коэффициент корреляции Пирсона. Чем он

ближе к 1, тем точнее обрабатываемые данные соответствуют линейной зависимости.

2. Полиномиальная регрессия

Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома и с

произвольными координатами отсчетов в Mathcad выполняется функциями:

regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S, в составе которого находятся

коэффициенты ai полинома n-й степени;

Значения коэффициентов ai могут быть извлечены из вектора S функцией

submatrix(S, 3, length(S)-1, 0, 0).

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) =

a1+a2*x+a3*x2

.

3. Нелинейная регрессия

Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций

нелинейной регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad.

К их числу относится функция expfit(X,Y,S), которая возвращает вектор,

содержащий коэффициенты a1, a2 и a3 экспоненциальной функции y(x) =

a1·exp(a2·x) + a3. В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a1, a2

и a3 первого приближения.

5.1Обработка заданных экспериментальных данных с использованием встроенных функций интерполяции (аппроксимации) и регрессии пакета MathCad

Л и н е й н а я р е г р е с с и я

Э к с п о т е н ц и а л ь н а я р е г р е с с и я

П о л и н о м н а я р е г р е с с и я n=2

Заключение

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные т.к. согласно таблице 8 коэффициент корреляции - 0,94; Коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации - 0,884; квадратической аппроксимации – 0,96; экспоненциальной аппроксимация – 0,80.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости совпадает с истинным значением

4. Результаты полученные с помощью системы MathCAD полностью совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.