50. Вирівнювання статистичних законів розподілу. Перевірка правильності гіпотез. Точкові оцінки. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність

Дуже часто статистична інформація обмежена за обсягом і не дає змоги розраховувати статистичні закони розподілу з незалежною точністю. Тому виникає задача підбору для статистичного ряду теоретичної кривої розподілу, яка відтворювала б істотні риси статистичної інформації й усувала б випадкові, пов’язані з недостатнім обсягом експериментальних даних. Така задача називається вирівнюванням (згладженням) статистичних рядів. Вона є, по суті, задачею аналітичної апроксимації статистичних законів.

Задача згладження значною мірою неозначена і розв’язання її залежить від того, яку апроксимацію вважати найкращою. Форма апроксимуючої функції (поліном, трансцендентна функція) вибирається звичайно з міркувань, пов’язаних з характером досліджуваного явища, його суттю чи зовнішнім виглядом статистичного розподілу.

Після вибору форми аналітичної кривої вирівнювання статистичного ряду зводиться до оптимального визначення параметрів, за яких відповідність між статистичним і теоретичним розподілом виявиться найліпшою.

Якщо, наприклад, випадковою величиною є відхилення напруги на шинах підстанції від її розрахункового значення, то з теоретичних міркувань можна прийняти, що величина підлягає нормальному законові й задача вирівнювання зводиться до задачі раціонального вибору параметрів і ( математичного сподівання та стандартного відхилення).

Під час апроксимації необхідно мати на увазі, що аналітична функція , якою згладжується статистична крива, повинна мати основні властивості функції густини розподілу, тобто

; . (7.64)

Вирівнювання статистичних законів здійснюється на основі методу найменших квадратів, який детально викладений у параграфі 4.3, і методу моментів.

Застосування методу найменших квадратів для задач математичної статистики нічим не відрізняється від його застосування в розглянутих у попередніх розділах задач і зводиться до обчислення оптимальних параметрів апроксимуючих функцій.

У методі моментів параметри аналітичної кривої вибираються так, щоб найважливіші числові характеристики (моменти випадкової величини) теоретичного розподілу дорівнювали відповідним статистичним характеристикам. Наприклад, якщо апроксимована крива залежить тільки від двох параметрів і , то ці параметри вибираються так, щоб математичне сподівання та дисперсія теоретичного розподілу збіглися з відповідними статистичними характеристиками та . Коли крива залежить від трьох параметрів, то їх слід підібрати так, щоб збіглися три перші моменти і т.д. Для цього можна користуватися спеціальною системою кривих Пірсона, кожна з яких залежить у загальному випадку від чотирьох параметрів. Під час апроксимації параметри вибираються так, щоб зберегти перші чотири моменти статистичного розподілу (математичне сподівання, дисперсію, третій і четвертий моменти).

Отже, рівняння апроксимуючої функції розподілу виражається

Точкові оцінки

Припустимо, що закон розподілу деякої випадкової величини містить невідомий параметр й необхідно дати оцінку цього параметра на основі досліду.

Нехай у результаті досліду одержані деякі значення випадкової величини . На їх основі певним чином визначаємо величину , яка є оцінкою параметра .

Оскільки є випадковими величинами, розподіленими за тим же законом, що й , то є також випадковою величиною, закон розподілу якої визначається законом розподілу і кількістю дослідів . Оцінка має практичну вартість тільки тоді, коли вона наділена такими властивостями.

1. Незміщеність оцінки. Для такої оцінки (для зміщеної оцінки .

2. Спроможність оцінки. Такою є оцінка , якщо вона збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра, тобто

, (7.68)

де - як завгодно мале додатне число.

Для забезпечення умови (7.68) досить, щоб

(7.69)

і, крім цього, щоб оцінка була незміщеною. Від (7.68) легко перейти до (7.69) на основі нерівності Чебишева (7.42).

3. Ефективність оцінки. При забезпеченні властивостей 1 і 2 оцінки можуть відрізнятися дисперсіям, якщо кількість дослідів обмежена. Очевидно, чим менша дисперсія, тим менша ймовірність грубої похибки під час обчислення наближеного значення параметра. Тому необхідно, щоб дисперсія оцінки була мінімальною. Оцінка, наділена такою властивістю, називається ефективною.

Визначення наближеного значення вимірюваної величини означає виконання оцінки математичного сподівання цієї величини. Якщо - постійна величина, то оцінка для є наближеним значенням дійсного значення вимірюваної величини, а якщо вимірювана величина випадкова, то оцінка для є наближеним значення її математичного сподівання.

Припустимо, що в результаті незалежних рівно точних вимірювань (тобто вимірювань, проведених в однакових умовах) одержано значення випадкової величини . Потрібно знайти незміщені та спроможні оцінки математичного сподівання та дисперсії цієї величини.

Для оцінки математичного сподівання приймають статистичне математичне сподівання, тобто . Ця оцінка є незміщеною і спроможною. Справді, згідно зі законом великих чисел . Згідно з (7.68) це означає, що є спроможною оцінкою. Оцінка є також незміщеною, оскільки

.

Подібним чином можна показати, що статистична дисперсія є незміщеною та спроможною оцінкою дисперсії випадкової величини , тобто .

Для нерівноточних вимірювань (тобто вимірювань, проведених в неоднакових умовах) випадкової величини , дисперсії яких дорівнюють відповідно , користуються оцінкою математичного сподівання . Така оцінка визначається за формулою

і вона є незміщеною, спроможною й ефективною.

Довірчий інтервал. Довірча ймовірність

На практиці часто потрібно дати не тільки точкову оцінку випадкової величини , тобто точку на числовій осі, у якій повинно знаходитися значення невідомого параметра , але й оцінити його точність і надійність. Такі оцінки особливо важливі при малій кількості спостережень, оскільки тут точкова оцінка значною мірою випадкова й наближена заміна дійсного параметра на може призвести до значних похибок.

Для визначення точності оцінки користуються довірчими інтервалами, а для визначення її надійності – довірчими ймовірностями.

Припустимо, що за даними досліду для параметра одержана зміщенна оцінка . Для оцінки можливої похибки такої оцінки задаються ймовірністю і знаходять таке значення , для якого

, (7.70)

Вираз (7.70) можна подати у вигляді

, (7.71)

Співвідношення (7.71) означає, що невідоме значення параметра з імовірністю попадає в інтервал

, (7.72)

Причому величина є невипадковою, а інтервал - випадковою величиною, оскільки положення інтервалу на осі залежить від випадкової величини (центр інтервалу); ширина інтервалу також у загальному випадку є випадковою величиною. Тому в даному разі ймовірність краще тлумачити не як імовірність попадання точки в інтервалі , а як імовірність того, що випадковий інтервал накриє точку.

Інтервал називають довірчим інтервалом, а ймовірність - довірчою імовірністю.

Отже, довірчою імовірністю , яка відповідає даному довірчому інтервалові , називається ймовірність того, що дійсне значення параметра лежить у цьому інтервалі.

Побудуємо довірчий інтервал , який відповідає імовірності для математичного сподівання випадкової величини .