35. Ітераційний метод визначення усталеного режиму електричного кола.

Деякі загальні питання стійкості методів чисельного інтегрування.

Йдеться про визначення розв'язання векторного диференційного рівняння (5.1) у сенсі задачі Коші на часовому інтервалі уста­лення режиму .

Найпростіше (з алгоритмічного погляду) задача розв'язується шляхом прямого інтегрування рівняння (5.1) чи (5.2). Однак при по­ганій зумовленості матриці Якобі, особливо при високій осциляції перехідного процесу, такий метод неефективний у зв'язку з кумуля­цією похибки інтегрування на тривалих часових інтервалах і його неекономічністю із-за великих витрат машинного часу. В такому ви­падку ефективним є розв'язування рівняння (5.1) чи (5.2) в сенсі крайової задачі з умовами періодичності.

Оскільки в загальному випадку перехідні процеси електричних кіл описуються диференційними та скінченними (диференційно-скінченними) рівняннями, розглянемо саме такий випадок, тобто систему

(5.146)

де .Тут – вектор-стовпець струмів індуктивностей хорд, – вектор-стовпець напруг ємностей дерева графа з нор­мальним деревом (див. модель у координат стану); – вектор-стовпець резистивних струмів хорд і резистивних напруг ребер дерева.

Застосувавши до рівнянь (5.146) апроксимацію ФДН у формі (5.145), отримуємо векторне скінченне рівняння

де . На основі цього рівняння в методі Ньютона формуємо модель

(5.147)

При періодичних вимушувальних силах одної частоти, що завжди має місце в EEC та їхніх підсистемах, інтегральна вектор-функція для усталеного режиму також періодична.

Необхідною і достатньою умовою того, що інтегральна вектор-функція відповідає усталеному режимові, є рівняння

де –значення інтегральної вектор-функції через період з мо­менту, який відповідає . Визначення з наведеного рівняння най­простіше здійснюється методом Ньютона за робочою формою

(5.148)

де

Матрицю називають фундаментальною матрицею чи мат­рицею переходів.

Для визначення матриці сформуємо на основі вихідно­го векторного рівняння (5.146) матричне диференційне рівняння у варіаціях, а саме

де

(5.149)

Як видно де – матриця проектування.

З метою зменшення обсягу обчислень доцільно рівняння (5.149) і рівняння (5.146) інтегрувати одним і тим же методом і з однаковим кроком. У цьому випадку основні матричні операції є необхідні під час інтегрування рівняння (5.149), виконуються при інтегруванні рівняння (5.146) і матриця визначається найекономічніше.

Застосуємо до матричного рівняння (5.149) дискретизацію на ос­нові ФДН у формі (5.145), а саме

Як видно з отриманого рівняння та виразу матриці , матриця . Отже, з останнього рівняння знаходимо

Враховуючи наведений вище зв'язок між матрицями та , остаточно маємо

(5.150)

Приклад 5.12. Визначити усталений режим, що виникає після увімкнення на ЕРС В кола послідовного сполучення котушки ін­дуктивності з параметрами Ом і з паралельними елементами Ф, Ом.

Записуємо рівняння в методі контурних струмів

Отже, маємо стосовно до рівняння (5.146) Далі

За нульове наближення приймаємо На першій ітераціі маємо

На другій ітерації що практично збігається з точним розв'язанням.

Деякі загальні питання стійкості методів чисельного інтегрування

Під час оцінки стійкості методу Ейлера (явного та неявного) ми користуємося однорідним векторним диференційним рівнянням (5.56). Відповідне йому координатне рівняння, а саме рівняння де в загальному випадку називають модельним з погляду оцінки стійкості чисельних методів інтегрування. Стійкість останніх порівнюється зі стійкістю аналітичного розв'язання стосовно модельного рівняння. Це рівняння має одне власне значення, що дорівнює .

Під час розв'язування модельного рівняння чисельними методами воно перетворюється в скінченне з коефіцієнтами, які залежать від ( – крок інтегрування). Ліву частину характеристичного рів­няння цього скінченного рівняння називають поліномом стійкості методу чисельного інтегрування. Наприклад, для неявного методу Ейлера скінченне модельне рівняння має вигляд та характеристичне рівняння . Корені характеристичного рівняння визначають стійкість чисельного методу. Аналітичне роз­в'язання модельного рівняння має загальний вигляд де – постійна інтегрування. За умови при у затухає, тобто . Звідси умова – чисельний метод стійкий при даному , якщо зі зростанням кількості кроків розв'язання модельного рівняння на його основі затухає. Ця умова відповідає абсолютній стійкості методу (див. п. 5.3.1). За визначенням метод абсолютно стійкий для даного , якщо при цьому всі корені полінома стійкості ле­жать усередині одиничного кола. Стійкість розв'язання модельного рівняння оцінюється в комплексній площині в координатах Областю абсолютної стійкості методу інтегрування в цій площині називають область, якщо метод абсолютно стійкий для всіх У випадку чисельне розв'язання модельного рівняння, по­дібно як і аналітичне його розв'язання, повинно зростати зі збіль­шенням числа кроків інтегрування. Якщо при цьому глобальна по­хибка чисельного інтегрування зростає не з більшою швидкістю, ніж аналітичне розв'язання, то метод називають відносно стійким.

Методи чисельного інтегрування диференційних рівнянь характе­ризуються різними видами (типами) стійкості. Однокрокові явні ме­тоди оцінюються абсолютною стійкістю. На рис. 5.6, а в комплексній площині показана область (заштрихована) абсолютної стійкості методу Рунге-Кутта 4-го порядку. Якщо область абсолютної стійкості обмежена в лівій півплощині комплексних , то метод називають обмежено стійким.