45. Основні теореми ймовірностей, формули повної ймовірності, Бейєса (теорема гіпотез) і повторення дослідів
ЕЕС є комплексом підсистем, які взаємодіють між собою, розвиваються, проявляючи тенденції до ускладнення як структури, так і функції всіх компонентів і системи у цілому.
Детерміноване вивчення явищ таких систем та їхніх компонентів у загальному випадку неможливе, оскільки немає змоги охопити всю різноманітність факторів, які визначають їхню поведінку в різноманітних, навіть найпростіших ситуаціях. Тому всі вони мають випадковий характер з тим чи іншим ступенем випадковості.
Тому розв’язування задач аналізу, синтезу та керування ЕЕС практично завжди в тій чи іншій мірі опирається на застосування методів теорії ймовірностей і, в першу чергу, таких важливих її розділів, як математична статика, теорія інформації та теорія надійності.
Для
несумісних випадкових подій
теорема
додавання імовірностей записується як
|
(7.1)
для
сумісних подій
|
(7.2)
і в загальному випадку сумісних подій
|
(7.3)
де суми в дужках розкриваються за (7.2), починаючи справа.
Для
незалежних подій
теорема
множення ймовірностей
|
(7.4)
Для
незалежних подій при умовних ймовірностях
|
(7.5)Для деякої випадкової події А, яка може виникнути разом із одною з подій B1, B2, … Bn, що становлять повну групу несумісних подій (гіпотез), повна ймовірність
|
(7.6)
Формула повної імовірності є наслідком основних теорем – теореми додавання і теореми множення ймовірностей.
Для повної групи несумісних подій (гіпотез) B1, B2, … Bn умовна ймовірність гіпотези p(Bk /A) визначається за формулою Бейєса (теорема гіпотез)
|
. (7.7)Імовірність того, що при n-разовому повторенні елементарного досліду подія А відбудеться n разів, визначається за формулою повторення дослідів
|
(7.8)
де
|
(7.9)
– імовірність
появи події під час елементарного
досліду;
- імовірність її не появи.
Дуже часто виникає задача визначення ймовірності того, що подія А появиться не менше ніж k разів у n дослідах. Застосовуючи теорему додавання ймовірностей, для цього випадку знаходимо
|
(7.10)У практиці енергетичних розрахунків часто появляється необхідність визначення ймовірностей того, що різні групи однотипних події виникають одночасно при різній їх повторюваності. Розглядаючи ці події як незалежні й сумісні, на основі теореми множення маємо
|
(7.11)
46. Випадкові величини в електроенергетиці
Дискретні випадкові величини в електроенергетиці (кількість увімкнених чи пошкоджених агрегатів, кількість викликів абонентів по диспетчерському каналу зв’язку, кількість грозових розрядів на лінії тощо) звичайно підлягають одному з двох законів розподілу ймовірностей – біномінальному або закону Пуассона.
Неперервні випадкові величини в електроенергетиці (значення напруг у вузлах ЕЕС чи їхніх відхилень від номінального значення, значення частоти в системі, значення струмів, потужностей окремих віток електроенергетичних мереж тощо) звичайно підлягають одному з наступних законів – рівномірному, нормальному, Релея, Вейбула, показниковому.
Для оцінки окремих особливостей випадкових величин використовують відповідні числові характеристики: математичне сподівання, дисперсію, стандартне відхилення, моменти вищих порядків, моду, медіану. Вони звичайно виступають як параметри аналітичних виразів законів розподілу.
Дуже важливе застосування у задачах електроенергетики має зв’язок між дисперсією D (X) та моментом другого порядку відносно деякої постійної С, тобто DC (X) = M (x-C)2, що має вигляд
|
(7.12)
Співвідношення (7.12) широко застосовується в енергетиці під час визначення народногосподарських збитків від невідповідної якості енергії за одним з ї основних показників – діючим значенням напруги чи частоти.
розглянемо методику визначення оптимального числа резервних агрегатів (наприклад, турбогенераторів у системі, трансформаторів власних потреб тощо).
Очевидно, що доцільно встановлювати резервні агрегати (один чи декілька) тоді, коли математичне сподівання збитків від не покриття навантаження за рік перевищуватиме розрахункові витрати на додаткові (один чи декілька) агрегати.
Перш за все визначимо математичне сподівання збитків внаслідок не покриття навантаження (за енергією) при n агрегатах (без резерву). Для цього визначимо ймовірності пошкодження окремих сукупностей агрегатів, користуючись формулою біномінального розподілу:
|
…;
…. (7.19)
Далі знайдемо ймовірність дефіциту різних величин потужностей, який виникає під час збігання аварій і відповідних навантажень:
…;
|
… (7.20)
Математичне сподівання не покриття навантаження за енергією в рік
|
(7.21)
Математичне сподівання вартості збитків
|
(7.22)
Тепер припустимо, що встановлено один резервний агрегат. Для (n + 1) агрегатів повторимо всі розрахунки спочатку.
Знаходимо ймовірності пошкодження різних чисел агрегатів:
|
…;
…. (7.23)
Тепер дефіцит потужностей буде визначатися так:
…;
|
… (7.24)Математичне сподівання не покриття навантаження за енергією в рік
|
(7.25)
Математичне сподівання вартості збитків
|
(7.26)