36. Лінеаризація нелінійних диференційних рівнянь. Розв’язування крайової задачі.

У деяких задачах електроенергетики, наприклад у випадку дослі­дження статичної стійкості режимів систем, виникає необхідність визначення координат при незначних збуреннях їхнього стану. Врахо­вуючи, що в реальних умовах збурюючі сили мають незначні коротко­тривалі величини й при їх дії слід чекати невеликих відхилень координат від їхніх значень у момент збурення (за умови стійкості режиму), в межах зміни цих координат можна допустити лінійність їх причинно-наслідкових зв'язків, чи, точніше, здійснити лінійну апрок­симацію останніх. Проводячи таку апроксимацію безпосередньо в не­лінійних диференційних, рівняннях стану, одержуємо лінеаризовані рівняння. Лінеаризацію ведемо шляхом розкладання нелінійних за­лежностей координат у відсічений у лінійній частині степеневий ряд. При цьому звичайно переходимо від рівнянь для дійсних координат до рівнянь для їхніх відхилень від стану в момент збурення (так звані рівняння у відхиленнях), тобто переносимо початок координат системи в точку значень координат у момент збурення. Коефіцієнти при похідних координат, які в загальному випадку залежать від координат , у цих умовах приймаються незалежними від , точніше з фіксованими значеннями .

Нехай маємо лінійну систему диференційних рівнянь

(5.151)

де – квадратна матриця -го порядку коефіцієнтів, які в за­гальному випадку залежать від інтенсивності процесів (від координат ); – деяка нелінійна функція координат; – багатовимір­ний вектор вимушувальних сил.

Очевидно, систему рівнянь (5.151) можна завжди звести до систе­ми рівнянь першого порядку.

Розкладаючи в околі функцію у відсічений у лінійній части­ні ряд Тейлора й приймаючи, що при малих відхиленнях матриця коефіцієнтів є матрицею постійних коефіцієнтів, рів­няння (5.151) наближено можна записати у вигляді лінеаризованого векторного рівняння

(5.152)

Якщо застосувати перенесення початку координат у точку , рів­няння (5.152) перетвориться у лінійне рівняння у відхиленнях, а саме:

(5.153)

де – матриця Якобі функції у точці ; – - вимірний вектор-стовпець приростів (відхилень) вектора координат ; – зміна вектора вимушувальних сил, що може бути одною з причин збурення стану системи.

Приклад 5. 12. Здійснити лінеаризацію диференційного рівняння стану простого кола з нелінійним резистором і нелінійною індуктивністю, в якому при наступає збурення режиму внаслідок стрибкоподібної зміни постійної напруги від до Характеристики нелінійних елементів апроксимовані аналітично у вигляді залежностей

Рівняння стану кола можна записати , чи у вигляді системи рівнянь першого порядку

Систему лінеаризуемо згідно з (5.153)

де

Одержану систему рівнянь як лінійну можна просто розв'язати за допомогою класичного або операторного методу. її можна звести також до одного інтегродиференційного рівняння, якщо в перше рівняння замість підставити його вираз з другого рів­няння у вигляді

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ

Як показано в параграфі 5.1, під час розв'язання крайової задачі інтегрування у загальному випадку системи нелінійних диференційних рівнянь

(5.154)

знаходиться конкретне її розв'язання за додаткових умов

(5.155)

які є певною системою скінченних нелінійних рівнянь.

Розв'язування крайової задачі здійснюється методами зведення до задачі Коші, скінченних різниць (наближені чисельні методи), колокації, Галеркіна–Бубнова, інтегральним методом найменших Квадратів і методом підобластей (наближені аналітичні методи). У за­дачах електроенергетики найчастіше застосовується метод скінченних різниць.

Суть його полягає в тому, що за рахунок апроксимації похідних відношенням скінченних різниць функції і аргументу диференційні рівняння зводяться до систем у загальному випадку нелінійних скін­ченних рівнянь. Цей метод, який часто називають методом сіток, завдяки своїй простоті набув широкого застосування не тільки при розв'язуванні звичайних, але й диференційних рівнянь у часткових похідних.

Нехай, наприклад, маємо нелінійне диференційне рівняння

(5.156)

в крайовими умовами на границях інтервалу

(5.157)

Очевидно, (5.156), (5.157) можна звести до системи вигляду (5.154), (5.155) за рахунок уведення нової змінної.

Розіб'ємо інтервал х на s рівних ділянок з кроком при відповід­них значеннях

При застосуванні апроксимації похідних згідно з (4.68), (4.69) для похідних першого порядку та згідно з (4.70) для похідних другого по­рядку диференційне рівняння (5.156) з крайовими умовами (5.157) зводиться до системи лінійних скінченних рівнянь

(5.158)

………………………………………………………………………………………….

Яку можна записати як вектор-функцію

(5.159)

де – вектор-стовпець невідомих; – матриця коефіцієнтів; – вектор-стовпець вільних координат.

Розв'язуючи систему (5.159) одним із викладених у попередньому розділі методів, дістаємо сукупність значень інтегральної кривої для заданих граничних умов. Тут прийнято розміщення точок скінченних різниць для першої похідної за схемою для другої похідної Можливі й інші схеми розміщення точок, як не показано в параграфі 4.4.

Для забезпечення вищої точності апроксимації похідних можна скористатися апроксимацією на основі інтерполяційних формул, зокре­ма Лагранжа. Як було подано в параграфі 4.4, найдоцільніші з цього погляду центральні формули. Однак, як показали дослідження, при такій апроксимації не гарантується чисельна стійкість розв'язання рів­нянь. Крім цього, застосування інтерполяційних формул призводить до збільшення заповнення матриці коефіцієнтів рівняння (5.159), а отже, збільшення обсягу обчислень під час розв'язування рівняння. Альтернативним є звуження кроку при найпростішій апроксимації похідних у межах такого ж збільшення обсягу обчислень за рахунок підвищення порядку рівняння (5.159), але з гарантією чисельної стійкості.

Найпростішим методом оцінки точності обчислень є подвійне перечислення з кроком та Власне, не існує іншого методу перевірки точності такого розв'язання в загальному випадку. Загальна тільки оцінка точності апроксимації похідних на основі залишкового члена (4.77).

Очевидно, метод скінченних різниць справедливий також і для систем рівнянь будь-яких порядків. Скінченні рівняння, складені за методом скінченних різниць, часто називають сітковими рівняннями.