32. Однокрокові явні методи.

Ці методи прямо чи посередньо грунтуються на розкладанні інтегральної вектор-функції у ряд Тейлора, на основі якого інте­гральна вектор-функція рівняння у точці при обчислюється за відомою інтегральною вектор-функцією та її похідними у цій же точці , а саме:

(1) .

Обмежуючися скінченним (відсіченим) рядом при верхній границі

m=p і заміняючи наближеним , на основі (1) одержуємо наближене значення інтегральної вектор-функції у точці

(2)

Враховуючи, що згідно з , останнє співвідношення записуємо

(3)

Формула (2) є загальною формулою однокрокових чисельних мето­дів інтегрування диференційних рівнянь. Величину р, яка визначає порядок найвищого члена ряду Тейлора, що враховується в (3), називають порядком методу. При і ця формула забезпе­чує безпосереднє обчислення послідовних значень за значенням . Однак при виникають труднощі обчислення повних похідних функції , аналогічно як у наближеному аналітичному методі інтегрування диференційних рівнянь за допомогою степеневих рядів. Тому при звичайно застосовується апроксимація функції так, щоб вона якомога ближче відпо­відала функції і не містила похідних від функції .

Метод Ейлера. При за формулою (2) з врахуванням (3) одержуємо формулу явного однокрокового методу першого порядку, запропонованого Ейлером

(4)

з початковою умовою

(5)

Для одновимірного рівняння

(6)

з початковою умовою

(7)

формула (4) набирає вигляду

(8)

Метод Ейлера — Коші (метод трапецій). Метод Ейлера має низьку точність, тобто характеризується великою загальною (глобальною) похибкою. Це зумовлене, по-перше, локальною похибкою інтеграль­ної функції на окремих кроках обчислень й, по-друге, нагромадженням (кумуляцією) похибки від кроку до кроку.

Існує кілька модифікацій уточнень методу Ейлера. Сюди нале­жать: удосконалений метод ламаних, метод Ейлера—Коші (метод' трапецій), метод Ейлера—Коші з ітерацією.

Найефективнішим з удосконалених методів є метод Ейлера—Коші, особливо з ітерацією.

У цьому методі на -му кроці спочатку визначається набли­ження як у методі Ейлера

(9)

за яким обчислюється приріст

(10)

Значення інтегральної функції -го кроку обчислюється як сума — функції попереднього кроку плюс середнє значення від при­росту попереднього й даного кроків, тобто

(11)

Метод Ейлера—Коші є, по суті, методом другого порядку.

Метод Рунге—Кутта. Цей метод — один з найефективніших чисель­них методів аналізу. Розроблено цілий ряд його модифікацій (версій). Всі вони грунтуються на побудові функції (3), що не містить похідних від правої частини рівняння якомога близької до функ­ції в (1). Покажемо таку побудову стосовно найпростішої версії методу Рунге — Кутта — методу другого порядку. Припустимо, що

(12)

де , , , — деякі постійні, що підлягають визначенню.

Серед методів Рунге — Кутта вищих порядків одним з найефектив­ніших є метод четвертого порядку, робочі формули якого мають вигляд

	(13)
	(14)

де

(15)

Метод Кутта — Джілла. Джілл одержав формули четвертого поряд­ку, які відзначаються простотою коефіцієнтів, що забезпечують фор­мування компактних програм. Тут обчислення всіх коефіцієнтів здійс­нюється в одному циклі програми. Інших переваг метод не має.

Метод Кутта — Мерсона. Всі наведені формули однокрокових мето­дів не забезпечують безпосереднього обчислення похибки. Для її оцін­ки й вибору інтегрування необхідно застосовувати подвійне перечислення з кроком h і 2h, або здійснювати чисельне диференціювання інтегральної функції. В обох випадках витрачається чималий додат­ковий машинний час.

Мерсон запропонував модифікацію методу Рунге — Кутта, яка за­безпечує безпосередню оцінку локальної похибки й на цій основі оп-тимізацію кроку інтегрування. Робоча формула методу Кутта — Мер­сона має вигляд

(16)

Метод Кутта — Мерсона вимагає п'ятиразового обчислення правих частин диференційних рівнянь, однак за рахунок простої оптимізації кроку на основі загальні витрати часу звичайно менші, ніж в основній версії методу Рунге – Кутта. Але метод Кутта - Мерсона для нелінійних і трансцендентних рівнянь має більшу локальну похибку, ніж основний метод. Вона може досягати значення, пропорційного .