22. Аналітичні методи розв’язування систем лінійних рівнянь
У випадку лінійної системи рівнянь вектор-функція (4.104) набирає вигляду
|
, (4.133)або
|
, (4.134)чи в розгорненій формі
|
. (4.135)
Якщо
матриця
неособлива, тобто
то рівняння (4.134) має єдине розв’язання,
а саме:
|
, (4.136)де обернена матриця
|
. (4.137)У (4.137) матриця
|
, (4.138)
в
якій
-
алгебричні доповнення елементів
транспонованої матриці коефіцієнтів
рівняння (4.135).
При
високих порядках рівняння (4.134) пряме
знаходження оберненої матриці
вимагає виконання великого обсягу
обчислень з необхідністю визначення у
загальному випадку
алгебричних
доповнень.
Шляхом простих перетворень (4.136) одержуємо розв’язання (4.135) у вигляді відомого алгоритму Крамера, згідно з яким вектор-стовпець невідомих
|
, (4.139)де
|
, (4.140)
що
одержується з матриці коефіцієнтів
шляхом заміни її
го
стовпця вектором-стовпцем вільних
членів
У
формулі (4.139) здійснюється
разове розкриття детермінанта вигляду
(4.140) матриці
-
го порядку, тоді як у (4.137)
разів розкриваються детермінанти
матриці
-
го порядку. Оскільки під час розкриття
детермінанта
го
порядку виконується стільки ж операцій,
що й під час розкриття
детермінантів
го
порядку, то з погляду обсягу обчислень
формули (4.137) і (4.139) рівноцінні й дуже
трудомісткі. На практиці широко
застосовують прямі методи розв’язування
рівняння (4.135) – метод
Гаусса,
метод
квадратичних коренів,
метод
Халецького
й інші.
Скінченні рівняння в задачах електроенергетики, як це було показано у третьому розіділі, звичайно характеризуються високою розрідженістю матриць коефіцієнтів. Кількість ненуьових елементів (НЕ) у них дуже мала. Коефіцієнт заповненя
|
, (4.141)
де
- кількість НЕ;
- вимірність матриці, для вказаних
матриць особливо при їхніх високих
вимірностях дуже низький. Наприклад,
для матриці вузлових адмітансів
де кількість НЕ можна визначити за
формулою
в якій
-
середня кількість НЕ в рядку матриці.
Отже,
Максимальне значення
відповідає повній планарній схемі
електро-енергетичної мережі і становить
=5
(один НЕ, що відповідає власному
адмітансові вузла, та чотири НЕ – взаємні
адмітанси). Отже, при
вузлів
,
а при
вузлах
23. Оптимізація аналітичних методів розв'язування систем скінченних рівнянь.
Серед
аналітичних методів розв'язування
систем скінченних рівнянь найефективніший
метод послідовних виключень -
метод Гаусса з триангуляцією та подвійною
факторизацією матриць. З цього погляду
вирішальне значення має вибір порядку
(впорядкування) виключення невідомих,
мета якого -
забезпечення високої точності обчислень,
збереження високої розрідженості
матриці та виконання якомога меншої
кількості арифметичних і логічних
операцій. Правила вибору порядку
виключення невідомих, які забезпечують
появу мінімальної кількості ННЕ,
називають
критеріями оптимальної нумерації.
Одним з найефективніших є
критерій Марковіца,
згідно з яким для чергового виключення
вибирається та невідома, індекси
коефіцієнта матриці
якої
та
задовольняють умову
де
-
нова кількість HHE,
що можуть
появитися під час виключення невідомої
з індексам
,
;
,
-
кількість НЕ в рядку
та стовпці
матриці
відповідно (без врахування
-го
елемента).
На практиці застосовують дві групи методів квазіоптимального впорядкування послідовності виключення - методи попереднього впорядкування, в яких послідовність виключення встановлюється заздалегідь, і методи динамічного впорядкування, де вона визначається в процесі виключення.
До методів попереднього впорядкування відносяться метод мінімізації кількості НЕ рядка і стовпця, що відповідають головному елементові, та метод обрамування діагоналі.
Він базується безпосередньо на критерію Марковіца. Практична його реалізація зводиться до впорядкування рівнянь системи, щоб забезпечити у першу чергу виключення тих невідомих, які зв'язані з найменшою кількістю інших невідомих. Метод обрамування діагоналі полягає в згрупуванні елементів матриці у вигляді вузької смуги-стрічки вздовж головної чи побічної діагоналі матриці. Матриці з таким згрупуванням елементів часто називають стрічковими. Вони відповідають графам такої ж структури.
Динамічне впорядкування полягає в оптимізації порядку виключення невідомих у процесі розв'язування рівняння. Такий підхід найефективніший, оскільки тут на кожному кроці обчислень можна вибрати наступний елемент виключення за критерієм оптимальності.
Серед таких методів у задачах електроенергетики застосовують метод динамічної мінімізації НЕ у рядках і стовпцях матриці та метод динамічної мінімізації ННЕ.
Метод динамічної мінімізації НЕ в рядках і стовпцях матриці формально збігається з відповідним методом попереднього впорядкування з тою різницею, що тут визначається мінімальна кількість НЕ, зв'язаних з елементом, який виключається на кожному кроці.