19.Наближене диференціювання функцій

Під час розв’язування практичних задач часто виникає потреба диференціювання функцій, заданих у табличній формі чи графічно. В окремих випадках у зв’язку зі складністю самої функції її аналітичне диференціювання неможливе. У таких випадках виникає необхідність наближеного диференціювання.

Найпростішим є диференціювання на основі відношення скінченних приростів функції до відповідних приростів аргументів.

Таку апроксимацію диференціювання широко застосовують у чисельних методах розв’язування диференційних рівнянь. На основі вказаної апроксимації диференційні рівняння зводяться до скінченних рівнянь.

Похідну в точці кривої наближено можна записати

. )

Очевидно, чим менший крок диференціювання , тим вища його точність. Застосовуються ще два, зрештою рівноправні з (4.66), варіанти похідних

; . 69)

Один з варіантів наближеної другої похідної визначається як

. 0)

Точні формули похідних з оцінкою похибки для функції заданої таблично можна одержати на основі інтерполяційних формул. Наприклад, застосовуючи для множини рівновіддалених по осі з кроком точок функції на основі рівняння, можна побудувати поліном Лагранжа у вигляді

, 2)

де . Позначаючи , одержуємо

3)

та

. 4)

Отже, набуває вигляду:

. 5)

На практиці для наближеного диференціювання застосовують також інтерполяційні формули Ньютона. Тут у ролі незалежної змінної виступає змінна , зв’язана з співвідношенням . Оскільки функція замінюється функцією , то згідно з правилом диференціювання складної функції дістаємо

.

Враховуючи, що , знаходимо

. 3)

Таким чином, для визначення похідної таблично заданої функції потрібно продиференціювати по її інтерполяційний поліном за формулою Ньютона й результат поділити на крок таблиці.

Для заданих табличних значень функції знаходження похідних можна здійснити без інтерполяційного полінома безпосередньо через скінченні різниці. Для визначення відповідних розрахункових формул користуються степеневим рядом Маклорена. Припустимо, що функція через скінченні різниці задана формулою Ньютона для інтерполяції вперед

. 4)

Цю ж функцію можна задати рядом Маклорена

. )

Деколи звертаються і до графічного диференціювання. Тут на основі заданого графіка функції будують криву як множину точок, що відповідають тангенсу кута нахилу дотичних до функції. Для такої побудови на кривій функції наводять якомога більшу кількість дотичних (рис. 4.3, а). Для вищої точності дотичні будують шляхом паралельного переміщення січної (рис. 4.3 б), починаючи з положення 1. граничне положення 5 січної відповідає дотичній у точці А. Цю точку одержують не попереднім вибором, а самою побудовою. На осі абсцис вибирають точку (полюс) і проводять паралелі відповідним дотичним прямі до перетину з віссю ординат. Відрізки пропорційні похідним функції , оскільки , де – масштаби, в яких побудовані відповідно значення функції та аргументу на графіку; – кут нахилу дотичної. Враховуючи наведені співвідношення, одержуємо . Тому точки перетину горизонтальних ліній, які проходять через точки з відповідними вертикальними лініями, що проходять через точки дотику , належать графіку похідної , абсциси якого відкладені в масштабі , а ординати – в масштабі .

У сприятливому випадку доцільно приймати (в одиницях вимірювання довжини координат графіка); це забезпечить . Коли похідна визначається відношенням фізичних величин (обчислюється як відношення величини у масштабі до величини у масштабі , тобто тангенс геометричного кута не відповідає такому відношенню), одержуємо з останнього співвідношення . Отже, значення похідних у точках дорівнюють значенням функції в цих точках, помноженим на відрізок , виражений у масштабі абсциси.