18. Апроксимація функцій

Термін апроксимація (від лат. approximatio — наближення) означає наближену заміну одних математичних операцій чи об'єктів іншими. Тут ідеться про наближену заміну на певному інтервалі од­них функцій, заданих аналітично, таблично чи графічно іншими — звичайно простішими. Зокрема, в задачах електроенергетики широко застосовують аналітичну апроксимацію—наближену заміну неаналітичних функцій (заданих таблично чи графічно) аналітичними функ­ціями.

В електроенергетиці звичайно маємо справу з найпростішим ви­падком — наближеним представленням заданої одновимірної функ­ції аналітичною функцією в якій компоненти параметричного вектора визначають або з умови проходження апроксимуючої функції через задану множину точок функції , або з умови якомога найменшого від­хилення від

Перша умова формально збігається зі задачею інтерполяції як побудови аналітичної функції за заданою множиною значень у певно­му інтервалі аргументу. Але задача апроксимації ставиться ширше, ніж інтерполяція, оскільки в першому випадку використовують най­різноманітніші як алгебричні, так і трансцендентні апроксимуючі функції, тоді як у другому — звичайно тільки поліноми, що зада­ються інтерполяційними формулами Лагранжа чи Ньютона.

У задачах електроенергетики апроксимацію звичайно здійснюють за допомогою поліномів і трансцендентних функцій. Наприклад, за­дану графічно на рис. 4.1 характеристику можна апроксимувати полі­номом або гіперболічною функцією Очевидно, тут успішно можна використати по­казникову апроксимуючу функцію.

Дуже широко застосовують так звану кусково-лінійну апроксима­цію, за якої криву на окремих ділянках наближено заміняють рівнян­нями прямих з відповідними кутовими коефіцієнтами і відрізками на осі ординат на окремих інтервалах абсцис (на рис. 4.1 кусково-лінійна апроксимація показана пунктирними прямими). На окремих ділянках рівняння прямої апроксимуючої функції тут має вигляд

Апроксимацію з умови проходження апроксимуючої функції через задану множину точок звичайно застосовують у тому випадку, коли потрібно добитися високої точності наближення на порівняно вузько­му інтервалі зміни аргументу. Апроксимацію з умови найменшого відхилення апроксимуючої функції від апроксимованої використову­ють при необхідності забезпечення якомога більшої відповідності функції в межах широкого інтервалу аргу­менту.

Визначення компонентів параметричного вектора з умови проходження апроксимуючої функції через множину за­даних точок най­простіше здійснюють на основі методу під­ставлення, який полягає у розв'язуванні системи п рівнянь, одержаних шляхом під­ставлення значень координат заданих точок у рівняння апроксимуючої функції.

При апроксимуючій функції у вигляді полінома її можна також визначити за інтерполяційною формулою Лагранжа чи у випадку рівновіддалених точок — за інтерполяційними форму­лами Ньютона.

Розглянемо метод підставлення. Припустимо, що крива рис. 4.1 апроксимується поліномом, який проходить через задані точки Отже, він має загальний вигляд