2.5. Одноканальная смо с ожиданием

(число мест в очереди ограничено)

Рассмотрим сначала простейшую из всех возможных СМО с ожиданием - одноканалъную систему (п = 1) , на ко­торую поступает поток заявок с интенсивностью λ ; интенсив­ность обслуживания µ (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать µ обслуженных заявок в единицу вре­мени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, ста­новится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом т, т.е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят т заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив т к бесконечности, получим характеристики одноканальной СМО без ограничений по длине очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе ( как обслуживаемых, так и ожидаю­щих обслуживания):

S₀ - канал свободен,

S₁ - канал занят, очереди нет,

S₂ - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

............................................................................

S_m+1 - канал занят, т заявок стоят в очереди.

Граф состояний СМО показан на рис.23. Интенсивно­сти потоков событий, переводящих систему по стрелкам слева направо, все равны λ, а справа налево - µ . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее со­стояние), справа же налево - поток " освобождений " занятого канала, имеющий интенсивность µ (как только будет обслу­жена очередная заявка, канал либо освободится, либо умень­шится число заявок в очереди).

Изображенная на рис.23 схема представляет собой схему гибели и размножения. Пользуясь общим решением, данным для схемы гибели и размножения, напишем выражения предельных вероятностей состояний:

(2.19)

Вводя обозначение перепишем формулы (2.19) в виде

(2.20)

Заметим, что в знаменателе последней формулы (2.20) стоит геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаме­нателем р ; суммируя эту прогрессию, находим:

(2.21)

Обратим внимание на то, что формула (2.21) справед­ливо только при (при р=1 она дает неопределенность вида 0/0). Но сумму геометрической прогрессии со знаменате­лем р = 1 найти еще проще, чем по формуле (2.21): она равна m+2, и в этом случае P₀ = 1 /(m + 2). Заметим, что тот же результат мы могли бы получить более сложным способом, раскрывая неопределенность (2.21) по правилу Лопиталя.

Определим характеристики СМО: вероятность отказа Р_отк, относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А , среднюю длину очереди , сред­нее число заявок, связанных с системой .

О чевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все т мест в очереди - тоже:

(2.22)

Находим относительную пропускную способность:

(2.23)

Абсолютная пропускная способность:

A = λq.

Найдем среднее число заявок, находящихся в оче­реди. Определим эту величину как математическое ожидание дискретной случайной величины R - числа заявок, находя­щихся в очереди:

С вероятностью Р₂ в очереди стоит одна заявка, с ве­роятностью Р₃ две заявки, вообще с вероятностью Р_k в очере­ди стоят к — 1 заявок, наконец, с вероятностью Р_т+1 в очереди стоят т заявок. Среднее число заявок в очереди получим, ум­ножая число заявок в очереди на соответствующую вероят­ность и складывая результаты:

(2.24)

Выведем формулу для суммы, стоящей в скобках. Оче­видно, рассматриваемая сумма представляет собой не что иное, как производную пo p суммы

а для этого выражения можем воспользоваться формулой сум­мы геометрической прогрессии:

(2.25)

Продифференцируем (2.25) по р и в результате получим

(2.26)

Подставляя его в (2.24), получим:

Учитывая выражение (2.21) для Р₀ , имеем

и ли, окончательно

(2.27)

Таким образом, получено выражение для среднего числа заявок, ожидающих обслуживания в очереди. Выведем теперь формулу для среднего числа заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся под об­служиванием). Будем решать эту задачу следующим образом: рассмотрим общее число заявок К, связанных с системой, как сумму двух случайных величин: числа заявок, стоящих в оче­реди, и числа заявок, находящихся под обслуживанием:

K=R+Ω

где R - число заявок в очереди, Ω - число заявок под об­служиванием. Имеем

где - среднее число заявок в очереди, - среднее число заявок под обслуживанием..

Величина найдена, найдем величину . Так как канал у нас один, то случайная величина Ω может принимать только два значения: 0 или 1. Значение 0 она принимает, если канал свободен; вероятность этого равна

Значение 1 она принимает, если канал занят; вероят­ность этого равна

Отсюда находим математическое ожидание числа заявок, на­ходящихся под обслуживанием:

Таким образом, среднее число заявок, связанных с СМО, будет

(2.28)

где величина r определяется по формуле (2.27).

Выведем выражение еще для одной существенной ха­рактеристики СМО с ожиданием; среднего времени ожидания заявки в очереди. Обозначим его . Пусть заявка приходит в систему в какой-то момент времени. С вероятностью P₀ канал обслуживания не будет занят и заявке не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью Р₁ она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, а заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью Р₂ в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т.д.. Вообще, с вероятностью P_k пришедшая заявка застанет в системе k заявок и будет ждать в среднем единиц времени; здесь к может быть любым целым числом до m . Что же касается к = т + 1, т.е. случая, когда вновь приходящая заявка застает канал об­служивания занятым и еще т заявок в очереди (вероятность этого Р_т+1), то время ожидания в этом случае также равно ну­лю, потому что заявка не становится в очередь (и не обслужи­вается). Поэтому среднее время ожидания будет

П одставляя сюда выражения для Р₁,..., Р_т, получаем

Преобразуем сумму в скобках, пользуясь формулой (2.26):

или выражая Р₀ через р :

(2.29)

Сравнивая это выражение с формулой (2.27), замечаем, что

(2.30)

т.е. среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Выведем еще формулу для среднего времени пребыва­ния заявки в системе. Обозначим Т_сист случайную величину - время пребывания заявки в СМО. Эта случайная величина складывается из двух слагаемых (тоже случайных):

T_сист=T_ож+θ

где Т_ож - время ожидания заявки в очереди, θ – случайная величина, равная времени обслуживания Т_об, если заявка об­служивается, и нулю, если она не обслуживается (получает отказ).

Имеем:

но в наших обозначениях, a

О тсюда находим:

или, с учетом формулы (2.30), (2.31)

Пример. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой). Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m =3). Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, при­бывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсив­ность λ = 1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжа­ется в среднем 1,25 мин. Определить:

• вероятность отказа;

• относительную и абсолютную пропускные способ­ности СМО;

• среднее число машин, ожидающих заправки;

• среднее число машин, находящихся на АЗС (включая и обслуживаемую);

• среднее время ожидания машины в очереди;

• среднее время пребывания машины на АЗС (вклю­чая обслуживание).

Решение. Находим приведенную интенсивность потока заявок:

По формулам (2.21), (2.20) вычисляем предельные ве­роятности состояний:

Относительная пропускная способность СМО

Абсолютная пропускная способность СМО

A = λq =0,703.

Среднее число машин в очереди находим по формуле (2.27):

т.е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.

П рибавляя к этой величине среднее число машин, на­ходящихся под обслуживанием

получим среднее число машин, связанных с АЗС:

С реднее время ожидания машины в очереди, по фор­муле (2.30), равно:

Прибавляя к этой величине

получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

2.6. ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ (число мест в очереди не ограничено)

В предыдущем 2.5 рассматривали работу одноканальной СМО с ожиданием при ограниченном числе т мест в очереди.

Теперь снимем это ограничение, т.е. устремим т к бесконечности. При этом число возможных состояний системы станет бесконечным, и граф состояний примет вид, показанный на рис.24.

λ λ λ λ λ

µ µ µ µ µ

Попытаемся получить вероятности состояний СМО с неограниченной очередью путем предельного перехода (при т ) из формул (2.20), (2.21).

Заметим, что при этом знаменатель в последней фор­муле (2.20) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится толь­ко, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. р < 1. Можно совершенно строго доказать, что р < 1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим; при р>1 такого режима не существу­ет, и очередь при t растет до бесконечности. Предположим, что

т.е. предельный режим существует. Устремим в формулах (2.21), (2.20) т к и выведем формулы для предельных ве­роятностей состояний в СМО без ограничений по длине очере­ди. Получим:

(2.32)

При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому

q = 1, А = λq = λ.

Среднее число заявок в очереди получим из (2.27) при т :

(2.33)

Среднее число заявок в системе по формуле (2.28) при т будет равно:

(2.34)

Среднее время ожидания также получим из фор­мулы (2.30) при т

(2.35)

Среднее время пребывания заявки в СМО равно сред­нему времени ожидания плюс среднее время обслуживания

(2.36)

Пример. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 0,4 часа, причем одновременно обрабатывается лишь один состав. Составы, прибывшие в момент, когда горка заня­та, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеются три запасных пути, на каждом из которых может ожи­дать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, становится в очередь на внешний путь, где число мест для ожидания не ограничено. Все потоки событий - простейшие. Найти:

• среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

• среднее число составов, ожидающих на внешних пу­тях;

• среднее время ожидания состава в парке прибытия и на внешних путях;

• среднее время нахождения состава на сортировочной станции (включая ожидание и обслуживание);

• вероятность того, что прибывший состав займет ме­сто на внешних путях.

Решение. В нашем случае λ = 2, µ = = 2,5 , и СМО в среднем "справляется" с поступившим на нее потоком заявок.

Среднее число составов, ожидающих очереди (как в парке прибытия, так и вне его), найдем по формуле (2.33):

Среднее число составов, ожидающих очереди на внешних путях, подсчитываем так: с вероятностью Р₅ вне парка прибытия будет ожидать один состав, с вероятностью

Р₆ - два состава, и т.д. с вероятностью Р_k {к > 5) – (к — 4) состава.

С реднее число составов, ожидающих вне парка, будет:

Формулу для бесконечной суммы в скобках получаем

предельным переходом.(при т ) из формулы (2.26):

Подставляя сюда р = 0,8 , получим: = 1,64.

Вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях, определяется еще проще: она равна вероят­ности того, что длина очереди будет не меньше трех, т.е.

Среднее время ожидания в парке прибытия определя­ем, рассматривая различные гипотезы о числе составов, нахо­дящихся в системе:

Для ρ= 0,8 , µ = 2,5 , получаем, что среднее время ожидания в парке прибытия равно

Что же касается среднего времени ожидания на внеш­них путях, то оно равно:

т.е. для наших численных данных

Среднее время пребывания состава на сортировочной станции (считая ожидание и обслуживание) будет равно:

2.7. МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ (число мест в очереди ограничено)

Рассмотрим п - канальную СМО с ожиданием, на ко­торую поступает поток заявок с интенсивностью λ ; интен­сивность обслуживания (для одного канала) µ число мест очереди т .

Состояние системы будем нумеровать по числу зая­вок, связанных с системой:

S₀ - все каналы свободны,

S₁ - занят один канал, остальные свободны,

.............................................................................

S_k -заняты к каналов, остальные свободны,

..........................................................................

S_n - заняты все п каналов, очереди нет,

S_n+1 - заняты все п каналов, одна заявка стоит в очереди,

.................................................................................

S_n+r - заняты все п каналов, r заявок стоит в очереди,

..........................................................................................

S_n+m - заняты все п каналов, т заявок стоит в очереди.

Граф состояний приведен на рис.25. У каждой стрелки поставлены соответствующие интенсивности потоков событий. Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью λ; по стрелкам справа налево систему переводит поток обслужива­нии, интенсивность которого равна µ умноженному на число занятых каналов.

Граф на рис.25 представляет собой схему гибели и раз­множения, для которой решение в общем виде уже получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, а сразу же обозначая

(2.37)

или, суммируя геометрическую прогрессию с знаменателем p/n и первым членом в последней сумме

(2.38)

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Найдем некоторые характеристики эффективности об­служивания. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все п каналов и все т мест в очереди:

(2.40)

Относительная пропускная способность, как все­гда, дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СMO будет равна

(2.40)

Найдем среднее число занятых каналов, которое обозначим . Каждый занятый канал обслуживает в среднем µ заявок в единицу времени; вся же СМО обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Деля одно на другое, получим:

(2.41)

Среднее число заявок в очереди можно вычислить не­посредственно, как математическое ожидание дискретной слу­чайной величины, умножая любое возможное число заявок на вероятность того, что именно это число заявок будет в очереди, и складывая результаты:

(2.42)

Введем обозначение р/п =χ и перепишем (2.42) в виде :

(2.43)

Заметим, что выражение в скобках есть не что иное, как уже вычисленная сумма (2.26 ), где вместо р поставлено χ .Пользуясь этой формулой и подставляя результат в (2.43), по­лучим

(2.44)

Складывая среднее число заявок в очереди r и среднее число занятых каналов z , получим среднее число заявок, связанных с системой к:

к =r+z (2.45)

Найдем среднее время ожидания заявки в очереди .

Сделаем ряд гипотез о том, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании отбросим, как равные нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все п каналов, а очереди нет, ей придет­ся ждать в среднем время, равное 1/nµ (потому что поток ос­вобождении п каналов имеет интенсивность nµ ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в оче­реди, ей придется в среднем ждать время 2/nµ ( по 1/nµ на каждую впереди стоящую заявку) и т.д. Если заявка застанет в очереди r заявок, ей придется ждать в среднем время r/пµ. Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже т заявок, но она вообще не будет ждать (но и не будет обслу­живаться). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующую вероятность:

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожидани­ем, замечаем, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (2.42) только множителем 1/pµ=1/λ, т.е.

(2.46)

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

Пример. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колон­ками (п = 2) предназначена для обслуживания машин. Поток автомашин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность λ = 2 (машин в минуту); среднее время обслуживания одной машины

Площадка у АЗС может вместить очередь не более m=3 (машин). Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ). Найти характеристики СМО:

вероятность отказа,

• относительную и абсолютную пропускную способ­ность,

• среднее число занятых колонок,

• среднее число машин в очереди,

• среднее время ожидания и пребывания машины на АЗС,