2. Теория массового обслуживания

2.1 Задачи теории массового обслуживания

При исследовании операций очень часто приходится сталкиваться с анализом работы своеобразных систем, назы­ваемых системами массового обслуживания (СМО). Приме­рами таких систем могут служить: телефонные станции, ре­монтные мастерские, заправочные станции, билетные кассы, магазины и т.д.

Каждое СМО состоит из какого-то числа обслужи­вающих единиц, которые называются каналами обслужива­ния. В качестве каналов обслуживания могут фигурировать: линии связи, заправочные колонки, железнодорожные пути, приборы, лифты и т.д.

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными и многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (вы­полнения) какого-то потока заявок (или требований), посту­пающих на СМО в какие-то, вообще говоря, случайные момен­ты времени. Обслуживание поступивший заявки продолжается некоторое (вообще говоря, случайное) время, после чего канал освобождается и готов к принятию следующей заявки. Случай­ный характер потока заявок приводит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо образуют очередь, либо поки­дают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО бу­дет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, а также от характера потока заявок, обла­дает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Предмет теории массового обслуживания - установле­ние зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью (эффективностью) обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслужива­ния, в зависимости от условий задачи и целей исследования, могут применяться различные величины и функции, например:

- среднее количество заявок, которое может обслу­жить СМО в единицу времени;

• средний процент заявок, получающих отказ и поки­дающих СМО не обслуженными;

• вероятность того, что поступившая заявка немедлен­но будет принята к обслуживанию;

• среднее время ожидания в очереди;

• среднее количество заявок, находящихся в очереди;

• закон распределения времени ожидания;

- закон распределения числа заявок в очереди и т.д.

Случайный характер потока заявок, а в общем случае и длительности обслуживания, приводит к тому, что в системе массового обслуживания будет происходить какой-то случай­ный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной ор­ганизации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается тео­рия массового обслуживания.

Область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется. Как свое­образные системы массового обслуживания могут рассматри­ваться: системы сбора и обработки информации; автоматизи­рованные производственные цехи; поточные линии; транс­портные системы и т.д.

Математический анализ работы СМО очень облегча­ется, если случайный процесс, протекающий в системе, являет­ся марковским. Тогда удается сравнительно просто описать работу СМО с помощью аппарата обыкновенных дифференци­альных (в предельном случае ­­-­ линейных алгебраических) уравнений и выразить в явном виде основные характеристики эффективности обслуживания через параметры СМО и потоки заявок.

Мы знаем, что для того, чтобы процесс, протекающий в системе, был марковским, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими (потоками без последействия). Для СМО потоки событии - это потоки заявок, потоки "обслуживании" заявок и т.д. Если эти потоки не являются пуассоновскими, математиче­ское описание процессов, происходящих в СМО, становится несравненно более сложным и требует более громоздкого ап­парата, доведение которого до явных, аналитических формул удается только в редких, простейших случаях. Однако все же аппарат "марковской" теории массового обслуживания может пригодиться и в том случае, когда процесс, протекающий в СМО, отличен от марковского - с его помощью характеристи­ки эффективности СМО могут быть оценены приближенно. Следует заметить, что чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные с помощью марковской теории. Следует также заметить, что в ряде случаев для принятия обоснованных решений по управлению работой СМО вовсе не требуется точ­ного знания всех ее характеристик - зачастую достаточно и приближенного, ориентировочного.

Здесь будут изложены элементы теории массового об­служивания, главным образом, в той простейшей форме, кото­рую они приобретают в рамках марковской теории. Для бо­лее подробного ознакомления с теорией массового обслужива­ния в ее современной, развитой форме, читатель может обра­титься к специальным монографиям, например, [1,2,8].