3.6. Имитация случайных величин

Для имитации случайные величины должны быть за­даны в виде своих распределений. Это означает, что для дис­кретный случайной величины должны быть заданы ряд или функция распределения, для непрерывной - функция распре­деления или плотность вероятности. При этом предполагается, что область определения случайной величины конечна. В про­тивном случае для нее должно быть построено усеченное рас­пределение, с помощью которого производится имитация. Усе­чение производится следующим образом.

Если Y есть дискретная случайная величина, задан­ная распределением вида

то соответствующее усеченное распределение имеет вид

если

Если Y - непрерывная случайная величина с плотно­стью распределения f(y) , где 0 < у < , то плотность ве­роятности соответствующего усеченного распределения имеет следующий вид:

где

Имитация дискретных случайных величин, заданныхрядом распределения.

Имитация дискретных случайных величин произво­дится по аналогии с имитацией событий. Допустим, что нам нужно смоделировать случайную величину Y, заданную сле­дующим рядом распределения:

Определим событие А_т = (Y — у_т ) (т = 1, п).

Очевидно, что события А₁...,А_т образуют полную группу попарно несовместных событий. Отсюда следует способ ими­тации дискретных случайных величин, заданный рядом рас­пределения.

Для имитации двух дискретных случайных величин Y₁ и Y₂ с заданными распределениями можно использовать про­цедуры имитации совместных зависимых и независимых собы­тий.

Имитация непрерывных и дискретных случайных величин, заданных функцией распределения.

Имитация случайных величин, заданных функцией распределения, может быть выполнена с помощью точных и приближенных методов. Из точных методов наиболее распро­странен метод обратной функции, который базируется на сле­дующей теореме.

Теорема. Пусть F(y) - функция распределения неко­торой случайной величины Y, а X — случайная величина, рав­номерно распределенная в (0,1). Тогда случайная величина, определенная соотношением у = F^-1 (х), где у = F^-1 (x)-функция, обратная X = F(y) имеет функцию распределения F(y).

Из этой теоремы вытекает следующий способ преобра­зования случайных чисел с равномерным в (0,1) распределени­ем в последовательность случайных чисел Y с функцией рас­пределения F(y). Для получения значения у случайной ве­личины Y, функция распределения которой F(y), нужно из последовательности псевдослучайных чисел выбрать одно X и разрешить относительно у уравнение

х = F(y) . (3.5)

Полученное решение и есть искомое число.

Пример 1. Имитация случайной величины, распреде­ленной по экспоненциальному закону.

Плотность распределения вероятности

если

если

Функция распределения

Тогда уравнения (3.5) запишется

Если X распределено равномерно в (0,1), то (1-х) тоже имеет равномерное в (0,1) распределение, т.е. можно за­писать

Пример 2. Имитация дискретной случайной величины, распределенной по закону Паскаля.

Функция распределения дискретной случайной вели­чины Y , распределенной по закону Паскаля, имеет вид

(3.6)

Значениями величины y являются 0,1,2,...

Очевидно, что решение уравнения (3.5) или то же са­мое уравнения

1-x=F(y)

запишется

Так как у должно быть целым, считаем

(3.7)

Таким образом, для имитации значения дискретной случайной величины Y с законом распределения (3.6) нужно взять случайное число X равномерно распределенное в (0,1) и вычислить соответствующее значение Y по формуле (3.7).

Заметим, что в рассмотренных примерах 1 и 2 функция распределения F случайной величины Y легко допускала по­лучение в явном виде обратной функции F^-1; на практике это далеко бывает не так. Если явного выражения для обратной функции получить не удается, можно воспользоваться прие­мом, предложенным Н.П.Бусленк [3]; он состоит в том, что функция распределения F(y) заменяется ее кусочно-линей­ной аппроксимацией F^* (у). Эту аппроксимацию можно сделать с любой заданной степенью точности. На каждом из таких линейных участков обратная функция находится без тру­да.

Имитация нормального распределения.

На основе центральной предельной теоремы можно построить алгоритм имитации нормальной случайной величи­ны с математическим ожиданием а и дисперсией σ². Для этого достаточно просуммировать N равномерно распреде­ленных случайных чисел. Процедура получается особенно про­стой, если в качестве N взять число 12. При этом суммируя 12 псевдослучайных чисел, мы в соответствии с центральной предельной теоремой получаем нормально распределенную случайную величину Z с параметром M(Z) = 6, D(Z) = 1. Преобразуя Z следующим образом:

Y = (Z-6)σ + a,

получаем искомую величину Y, распределенную нормально с математическим ожиданием а и дисперсией σ².

Имитация распределения Эрланга к-го порядка (у- распределение).

П лотность вероятности у - распределения имеет вид

Распределение Эрланга есть распределение суммы к независимых случайных величин, каждая из которых рас­пределена по экспоненциальному закону с параметром λ . Так как методом обратной функции экспоненциальную случайную величину Z можно имитировать с помощью выражения

то случайную величину, распределенную по закону Эрланга, можно получить, вычисляя выражение

Здесь x_i (i= ) равномерно распределенные в ин­тервале (0,1) случайные величины.

Имитация χ² (хи- квадрат), t, F ("Фишера) распре­деления.

Распределения χ², t, F имитируются с помощью процедуры имитации нормальной случайной величины. Из­вестно, что если Y_i N(0,1), и взаимно независимы, то

имеет χ² распределения. Таким образом, для имитации χ² распределения достаточно про­суммировать квадраты нормально распределенных величин.

Если Z N(0,1) , Y χ²_n не зависит от Z, то

т.е. имеет t-распределения Стьюдента.

Наконец, если Z и Z, Y , независимы

т.е. имеет распределение Фишера.