Умножение на разрядные числа.

На подготовительном этапе рассматривается следующий теоретический материал:

1. умножение на однозначное число;

2. таблицы умножения и сложения;

3. умножение на 10, 100, 1000.

4. замена разрядных чисел произведением однозначного числа и 10, 100, 1000 (600=6100)

5. свойство умножения числа на произведение (сочетательный закон умножения):

1. 8 (42)=88=64

2. 8 (42)=(84) 2=64

Сочетательный закон умножения читается так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего числа. Формулировка закона может быть другая: два или несколько множителей в произведении можно заменить их произведением, от этого значение арифметического выражения не изменится.

(ab) c = a (bc)

Свойство является теоретической основой для введения приемов.

На этапе ознакомления первыми вводится устные случаи вида:

1630=16 (310)=(163) 10=480

70060=700 (610)=(7006) 10=42000

Рассуждения учащихся: чтобы 7 сотен умножить на 60, надо 7 сотен умножить на 6, а затем полученное число умножить на 10, будет 42 сотни или 42000 единицы.

Теоретическая основа – сочетательный закон умножения или умножение числа на произведение.

Затем вводятся письменные приемы.

Например:

3 75

40

Второй множитель записываем так, чтобы нули были справа от единиц первого множителя. Число 375 умножаем на 4 и полученный результат умножаем на 10. В произведении записываем столько нулей, сколько их было во втором множителе.

Следующими рассматривается случай умножения, когда оба множителя оканчиваются нулями.

7200

60

Объяснение: 72 сотни умножаем на 6, получаем 432 сотни или 43200 и доумножаем на 10.

Вопросы вида:

• Сколько нулей в 1 множителе?

- Сколько нулей во 2 множителе?

• Сколько нулей в произведении?

Вывод: чтобы умножить 2 числа с нулями на конце, надо перемножить их, не обращая внимания на нули, а затем к полученному произведению приписать столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе.

Теоретическая основа – свойство умножения числа на произведение.

Умножение на двузначное и трехзначное число.

На подготовительном этапе повторяется весь ранее выделенный теоретический материал, изученные приемы умножения, вводится свойство умножения числа на сумму, которое является теоретической основой всех приемов умножения на двузначные и трехзначные числа.

Сначала на этой основе вводится случай вида:

3013=30 (10+3)=300+90=390

Письменные приемы умножения на двузначные числа вводится на примере вида: 7836

Показывается запись в строчку:

7836=78 (30+6)=7830+786=2808

Делается вывод, чтобы устно вычислить результат сложно. Произведения 7830 и 786 записываются в столбики, результаты вычисления называют неполными произведениями; сложив их, получаем произведение чисел 78 и 36.

Затем два столбика объединяются в один. Возможен и другой вариант введения умножения в столбик.

- Сравните 2 примера.

78. 78

6. 36

468. 468

Как продолжить умножение во втором примере?

Вводится алгоритм умножения.

1. Умножаю на единицы (78 умножаем на 6), получим 1 неполное произведение.

2.Умножаю на десятки (78 умножаем на 30), получим 2 неполное произведение.

3.Читаю ответ. Сложив неполные произведения, получаем ответ.

Нуль в конце второго неполного произведения можно не писать, так как сложив число единиц первого неполного произведения с нулем получим число единиц первого неполного произведения. При умножении на число десятков второе неполное произведение начнем подписывать под десятками первого неполного произведения.

Теоретическая основа – свойства умножения числа на сумму.

Умножение на трёхзначное число вводится на основе умножения на двузначное. Можно использовать такой прием: к числам 78 и 36 добавим цифру, обозначающую число сотен, например 4 и 5, получим пример 478536.

Как получить третье неполное произведение?

483 умножаем на 3, на число сотен и результат умножением на 100, 3-е неполное произведение подписываем под сотнями.

Затем включаются частные случаи умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или в середине есть нули. Алгоритм умножения остается тот же, хотя имеются некоторые особенности.

Например:

1. 5 60

74

Чтобы умножить 560 на 74, надо 56 дес. умножить на 74, получим десятки, их заменим единицами, приписав справа нуль.

7 48

306

В этом случае от умножения на единицы сразу переходим к умножению на сотни. Умножаем 748 на 300, получаем 2244 сотни или 224400.

В сумме будут отсутствовать единицы какого-либо разряда, в данном примере отсутствуют десятки и от умножения на единицы переходим к умножению на сотни; второе неполное произведение подписываем под сотнями.

Т.о. последовательно, по степени сложности рассматриваются все случаи письменного умножения.

Возможны другие подходы к изучению данной темы.

Н.Б. Истомина считает, что после объяснения алгоритма умножения на однозначное число не следует сразу приступать к выполнению умножения «в столбик», отрабатывая разные частные случаи умножения на однозначные числа, т.е. умножение трехзначных на однозначные, четырехзначных на однозначные; случай, когда в одном множителе отсутствуют разрядные единицы. Важнее, чтобы дети осознанно усвоили последовательность операций, входящих в алгоритм.

Даются задания вида:

1. объясни, как выполнено умножение «в столбик»;

2. вставь пропущенные цифры, чтобы запись была верной;

3. как не вычисляя значения умножения, выбрать из чисел, записанных справа, правильные ответы.

39077 7904

54298 64840

20787 14546

81058 43432

19764 27349

Т.к. умножение начинается с единиц низшего разряда, то для получения ответа, достаточно проверить последнюю цифру, т.е. выполнить только умножение единиц (табличное умножение). Поэтому надо подбирать выражение так, чтобы в результате не должно получаться чисел, оканчивающихся одинаковой цифрой. Для закрепления алгоритма умножения давать задание развивающего характера:

1. найти ошибку в вычислениях;

2. сделай прикидку. Сколько знаков будет содержать значение каждого произведения. Проверь себя, выполнив умножение «в столбик».

7243 98755 29056

14284 43819 63212

Рассмотрим методику изучения данного вопроса по программе развивающего обучения Л.В. Занкова , отраженной в учебниках, разработанных И.И. Аргинской . Основные линии изучения материала сходны изучению в традиционной методике. Особенности работы заключается в освещении и разработке этих линий, в установлении связей и зависимостей с ранее изученным материалом.

Весь материал рассматривается как знакомый, рассмотренный на более узком множестве чисел. Такой подход диктует особенности работы: сравнение знакомых случаев выполнения действий с выявлением сходства и различия в рассматриваемых случаях, поиски применения знакомого материала в новых условиях и обоснование выбора пути на основе наблюдений.

Например, можно проследить выполнение умножения в ряде выражений: 83; 583; 2583. Анализ выражений показывает использование общей закономерности в выполнении умножения в каждом случае и характер существующих различий, осуществление выбранного пути решения и объяснение его эффективности. Такая исследовательская работа формирует осознанный подход к выполнению вычислений.