2.4. Принцип максимума Понтрягина в линейной

стационарной задаче оптимального управления

2.4.1. Определение. Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где .

Однородная линейная система дифференциальных уравнений

(1)

где транспонированная матрица , называется сопряженной системой для данной системы .

Общее решение системы (1) содержит произвольных постоянных:

,

т.е. содержат произвольный постоянный n-мерный вектор .

2.4.2. Определение. Функция , где – общее решение сопряженной системы (1), матрица управления, управление, называется функцией Понтрягина.

При фиксированном значении момента времени и постоянного вектора значение функции Понтрягина зависит от значения управления в точке : при выборе разных значений управления в фиксированной точке функция Понтрягина принимает разные значения.

Формулируем без доказательства принцип максимума Понтрягина:

2.4.3. Теорема (принцип максимума Понтрягина)

Пусть на отрезке при некотором постоянном n-мерном векторе допустимые значения управления (т.е. ) выбраны так, что выполняется принцип максимума Понтрягина:

При каждом фиксированном , за исключением, может быть, конечного числа значений :

1) значение функции Понтрягина является максимальным среди значений , принимаемых при всех других допустимых значениях управления :

;

2) это максимальное значение положительно:

Тогда управление на является оптимальным по быстродействию.

Далее продемонстрируем применение этого принципа на двух простейших механических задачах.

2.5. Быстрейшая остановка движущейся точки в заданном месте

Пусть материальная точка с массой движется вдоль прямой под действием внешней силы – управления. Нужно быстрейшим образом остановить движение этой точки в заданном месте, которое мы примем за начало координат, с помощью ограниченной по величине силы.

Пусть координата точки в момент времени . Управление движением начинается в момент времени в точке со скоростью и должно закончиться за наименьшее время в точке со скоростью . Управлением является сила, ограниченная по величине: , так что область управления . Крайние значения и означают включение двигателя на полную мощность в отрицательном и положительном направлениях оси соответственно. При движении в положительном направлении оси скорость положительна: , а при движении в отрицательном направлении- отрицательна: .

Для простоты вычислений будем считать, что масса ед.

Ускорение движения создается управлением (силой) , и по второму закону Ньютона имеем уравнение движения

(1)

с краевыми условиями

2.5.1. Сведение задачи (1) к нормальной линейной системе

дифференциальных уравнений. Введем новые неизвестные функции и : , . Тогда уравнение движения (1) (уравнение 2-го порядка) сведется к нормальной линейной системе двух дифференциальных уравнений

с краевыми условиями .

Так как , то ,

а так как то ( скалярная функция: ).

Таким образом, имеем стационарную линейную задачу оптимального быстродействия

(2)

Фазовое ограничение отсутствует: допустимые фазовые состояния заполняют всю плоскость: На фазовой плоскости первая координата точки означает координату движущейся точки на оси , вторая координата скорость точки.