2.2. Линейная стационарная задача оптимального
быстродействия
Система
дифференциальных уравнений
называется стационарной
(или автономной),
если она не содержит явно время
:
(1)
(время
скрыто в функциях
и
).
В этом случае скорость
в точке
не зависит от времени. Поэтому, отправляясь
из этой точки в разные моменты времени
и
,
за один и тот же промежуток времени
точка опишет одну и ту же траекторию и
попадет в одну и ту же точку (так ведут
себя, например, частицы жидкости при
установившемся течении).
Мы
рассматриваем
линейную систему
(1) (первой степени относительно переменных
):
,
где
известная постоянная
- матрица,
известная
постоянная
- матрица (матрица
управления).
Таким
образом, мы рассматриваем линейную
стационарную задачу без фазового
ограничения (
)
(2)
где
искомая
-мерная
вектор-функция, непрерывная с
кусочно-непрерывной производной,
-мерное
кусочно-непрерывное управление.
Сформулируем без доказательства критерий управляемости системы (2).
2.2.1. Теорема (критерий Калмана)
Линейная
стационарная система (2) управляема
(т.е. найдется допустимое управление
,
переводящее объект (2) из состояния
в состояние
при любых
)
тогда и только тогда, когда
.
Под
матрицей
понимается матрица, полученная
приписыванием справа к матрице
элементов матрицы
(с сохранением порядка элементов), затем
элементов матрицы
и т.д.
Пример. Проверим управляемость системы
.
Здесь
,
,
.
Составим
матрицу
:
,
,
Система управляема.
Задача
оптимального быстродействия состоит
в следующем. Пусть в фиксированный
начальный момент времени
объект находится в состоянии
.
Надо подобрать допустимое управление
,
переводящее его в заданное состояние
за кратчайшее время: если
– конечный (не фиксированный) момент
времени, т.е.
,
то промежуток времени
должен быть минимальным. Ясно, что за
критерий качества следует взять
интегральный критерий
с
подынтегральной функцией
:
-
критерий оптимального быстродействия.
Таким образом, линейная стационарная задача оптимального быстродействия имеет вид
.
2.3. О возможности решения задач оптимального
управления с помощью вариационного исчисления
В некоторых случаях задачи оптимального управления можно решать методами вариационного исчисления.
Рассмотрим задачу
(1)
(2)
(3)
(4)
где
,
управление
скалярная
функция, непрерывная на отрезке
,
,
где функции
и
непрерывны как функции четырех переменных
и непрерывно дифференцируемы как функции
двух фазовых переменных
,
дважды непрерывно дифференцируема как
функция четырех переменных
,
и
данные
скалярные функции, непрерывные на
,
конец
отрезка
фиксирован, конец
не фиксирован: правые концы графиков
функций
и
скользят по прямым
и
.
|
Без
ограничения (4) на управление
|
эта задача представляет собой задачу
Лагранжа на условный экстремум при
уравнениях связи (1). Заметим, что
интеграл
функционала (3)
не зависит от производных искомых функций (задача Лагранжа в форме Понтрягина).
Пусть из системы уравнений Эйлера-Пуассона
(5)
где
функция Лагранжа,
множители
Лагранжа, с учетом краевых условий (2)
найдены одна или несколько экстремалей
.
Можно
доказать, что если экстремум функционала
имеется, то он достигается на функции
|
|
,
где управление
- непрерывная функция, график которой
составлен из кусков графиков функций
(или некоторых из них), содержащихся
между
графиками
и
,
и кусков графиков функций
и
- границ множества допустимых значений
управлений. В каких точках
стыкуются куски, можно найти. В этом
случае управление
является оптимальным, а функция
дает соответствующую оптимальную
траекторию.
В рассмотренной задаче управление было непрерывным. Однако в большинстве задач оптимального управления оно бывает разрывным (кусочно-непрерывным) и потому применение методов вариационного исчисления затруднено.
Возьмем, например, линейную стационарную задачу оптимального быстродействия (п. 2.2):
,
,
(6)
(здесь
).
Оказывается, что в классе непрерывных
управлений
эта задача, вообще говоря, неразрешима.
Действительно,
попытаемся ее решить рассмотренным
только что способом. Функция Лагранжа
имеет вид (здесь
)
(7)
Если
экстремаль
существует, то она удовлетворяет системе
уравнений Эйлера-Пуассона (5), которая
в нашем случае имеет вид
где
.
Продифференцируем по второе равенство:
.
Исключим
из равенств
,
умножив первое равенство справа на
.
Получили систему уравнений для
и
:
(8)
с
матрицей
.
Ее ранг при транспонировании сохраняется.
Транспонированная матрица имеет вид
.
Согласно
критерию Калмана (теорема 2.2.1), система
(6) управляема тогда и только тогда, когда
.
Следовательно, ранг матрицы системы
(8) совпадает с числом неизвестных и
потому однородная линейная система (8)
имеет единственное (тривиальное) решение
Но тогда функция Лагранжа (7) имеет вид
,
т.е. не учитывает уравнений связи (6).
Однако данная задача без самой системы
(6) бессодержательна. Можно доказать,
что экстремалей не существует.
Если
же экстремалей не существует, то
оптимальным может быть только управление
|
|
,
график которого составлен из кусков
графиков функций
и
(границ
множества допустимых значений
управлений). Но остается открытым
вопрос, в каких точках
происходит
переключение управления от значения
к значению
и наоборот. Управление может иметь
разрывы.
Таким образом, рассмотренная задача неразрешима в классе непрерывных управлений.
В 1956г. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко предложили метод, который обобщил методы классического вариационного исчисления на случай кусочно-непрерывных управлений. В основу этого метода был положен так называемый принцип максимума. В общем случае он сложен. Мы познакомимся с ним в сравнительно простом случае линейной стационарной задачи оптимального быстродействия.