II. Элементы оптимального управления

2.1. Постановка задачи оптимального управления

Будем рассматривать объект, состояние которого в фиксированный момент времени описывается набором из чисел . Например, если объект есть движение материальной точки в пространстве, то координаты точки; если объект – электрическая цепь, то напряжения или токи в различных участках цепи, если объект – течение химической реакции, то количества различных ингредиентов, катализаторов. Эти числа называют координатами фазового состояния, вектор называется фазовым вектором. Состояние объекта в каждый момент времени можно изобразить точкой (вектором) -мерного арифметического пространства , которое называется фазовым пространством.

Движение объекта (например, течение химической реакции) проявляется в том, что его фазовые координаты меняются с течением времени , т.е. фазовый вектор является вектор-функцией . При движении объекта фазовая (т.е. изображающая) точка описывает в фазовом пространстве кривую – фазовую траекторию. Обычно фазовые координаты являются инерционными (меняются плавно), так что вектор-функция непрерывна.

Пусть множество представляет собой совокупность всех фазовых состояний , в которых объекту разрешается находиться. Тогда при движении объекта его состояние в каждый момент времени должно подчиняться условию

,

которое называется фазовым ограничением.

Предположим, что объект находится под воздействием управления, параметры которого в каждый момент времени описываются набором из чисел (например, углы поворота рулей, мощность двигателя; в химической реакции – количество добавляемых или убираемых ингредиентов, и т.д.). Этот набор чисел составляет вектор управления , его можно изобразить точкой (или вектором) -мерного пространства . Управление – вектор-функция обычно является кусочно-непрерывной функцией (может иметь конечное число скачков в моменты переключения управления). Параметры управления не могут быть совершенно произвольными из-за конструктивных особенностей объекта, ограниченности ресурсов, условий эксплуатации объекта. Это значит, что в пространстве управляющих параметров выделяется некоторое множество , называемое областью управления. В любой момент времени точки должны принадлежать этому множеству:

.

Это условие называется ограничением на управление. Кусочно-непрерывные функции управления , значения которых попадают в область управления, называется допустимыми управлениями. В дальнейшем имеем в виду допустимые управления.

Чтобы указать, как именно фазовая траектория объекта определяется по выбранному управлению , надо задать закон движения объекта (управляемой системы). Будем предполагать, что закон движения объекта задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

где известная вектор – функция, непрерывная как функция переменных и имеющая непрерывные частные производные по фазовым переменным .

При фиксированном допустимом управлении система (1) превращается в нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными функциями . Её решение называется фазовой траекторией, соответствующей выбранному управлению .

Говорят, что управление , определенное на отрезке времени , переводит объект из фазового состояния в фазовое состояние , если соответствующая этому управлению фазовая траектория – решение системы (1) с начальным условием удовлетворяет фазовому ограничению и в момент времени попадает в фазовое состояние . Таким образом, задача управления состоит в том, чтобы найти какое-нибудь допустимое управление (кусочно-непрерывную функцию из области управления ), чтобы задача (1) с краевыми условиями , , т.е. задача

, , (2)

имела решение , удовлетворяющее фазовому ограничению

.

Если эта задача имеет решение при любых краевых условиях (т.е. всегда найдется допустимое управление , переводящее объект (1) из любого состояния в любое другое состояние ), то говорят, что система (2) управляема.

Если система (2) управляема, то обычно она имеет бесконечное множество решений: имеется бесконечно множество допустимых управлений, переводящих объект (1) из фазового состояния в фазовое состояние по различным траекториям . Поэтому ставится задача оптимального выбора: среди допустимых управлений, решающих задачу (2), выбрать такое, при котором управляемый процесс будет наилучшим в каком-либо смысле. Другими словами, если качество процесса оценивается некоторой числовой характеристикой (себестоимость, время процесса и т.п.), то задача заключается в том, чтобы выбором подходящего управления обеспечить максимальное или минимальное значение этой числовой характеристики. Такую числовую характеристику называют критерием качества. Значение критерия качества определяется фазовой траекторией и управлением : это – число, зависящее от функций , , т.е. функционал .

Задача оптимального управления состоит в отыскании управления , обеспечивающего экстремум этого функционала:

, , , .

Управление , обеспечивающее экстремум критерия качества , называется оптимальным управлением, а соответствующая этому уравнению фазовая траектория оптимальной траекторией.

Наиболее широко используется интегральные критерии качества – функционалы вида

,

где имеет такие же свойства, как и (в смысле непрерывности и дифференцируемости).

Мы рассмотрим только одну задачу оптимального управления – линейную стационарную задачу оптимального быстродействия.