- •1.2. Методы расчета электрических схем
- •1.2.1. Расчет схемы на основании законов Кирхгофа
- •Второй закон Кирхгофа:
- •1.2.2. Расчет схемы методом узловых потенциалов
- •1.2.3 Расчет схемы методом контурных токов
- •1.3. Линейные соотношения в электрических цепях
- •2. Описание лабораторной установки
- •3. Домашнее задание
- •4. Порядок выполнения лабораторной работы
- •5. Содержание отчета
- •6. Контрольные вопросы
- •Литература
- •Приложение
1.2.2. Расчет схемы методом узловых потенциалов
Для расчета электрической схемы этим методом необходимо потенциал одного любого узла принять равным нулю. Такое допущение не изменяет состояние схемы, т. к. ток в каждой ветви определяется не абсолютными значениями потенциалов узлов, к которым она присоединена, а их разностью потенциалов.
П осле этого для остальных n = Ny – 1 узлов составляются уравнения узловых потенциалов, записываемые в общем виде для цепей, содержащих только источники э.д.с., следующим образом
где qll – собственная проводимость узла l[1, n], равная сумме проводимостей всех ветвей, подключенных к этому узлу;
qlp – общая проводимость узлов l и p , равная сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы;
φl – узловой потенциал узла l ;
elj – j-ая э.д.с., находящаяся в ветви, подключенной к узлу l ;
qlj – проводимость ветви с источником э.д.с. elj , подключенной к узлу l;
ml – общее количество ветвей с источниками э.д. с., подключенных к узлу l .
При составлении этих уравнений слагаемые в их правой части берут положительными, если соответствующие э.д.с. направлены к рассматриваемому узлу, и отрицательными, если эти э.д.с. направлены от узла.
Путем совместного решения этих уравнений определяются значения потенциалов φl(l[1,n]) всех узлов.
Для определения токов в ветвях произвольным образом выбираются их направления. После этого их значения рассчитываются по закону Ома в соответствии с формулой
где ilp – ток в ветви lp , текущий от узла l к узлу p ;
φlφp – потенциалы узлов l и p соответственно;
∑elp – сумма э.д.с., находящихся в ветви lp ;
qlp – проводимость ветви lp.
Слагаемые в ∑elp берутся положительными, если направление э.д.с. совпадает с выбранным направление тока, и отрицательными – в противном случае.
В рассматриваемой схеме Ny = 3 (см. рис. 5,а) и количество узловых уравнений равно n = Ny – 1 = 3 – 1 = 2. Для расчета схемы потенциал узла 3 примем равным нулю (рис. 5,в) и составим уравнения узловых потенциалов для узлов 1 и 2
q11φ1 – q12φ2 = e1q1, (узел 1)
–q21φ1 + q22φ2 = –e2q2 + e3q3, (узел 2)
где
Подставляя числовые значения коэффициентов и э.д.с. в уравнения узловых потенциалов, получим
Решая систему двух уравнений относительно неизвестных φ1 и φ2, можно получить
Таким образом, потенциал узла 1 равен , а узла 2 –
В ыберем направления токов в ветвях (см. рис. 5,в) и вычислим их значения
Смысл знаков токов аналогичен выше рассмотренному (см. п. 1.2.1).
1.2.3 Расчет схемы методом контурных токов
Для расчета электрической схемы этим методом необходимо с помощью дерева ее графа выбрать n = Nв – (Ny – 1) независимых (главных) контуров, произвольным образом обозначить направления контурных токов Il, полностью обтекающих выбранные контура, и составить уравнения контурных токов, записываемые в общем виде для цепей, содержащих только источники э.д.с., следующим образом
где Rll – собственное сопротивление контура l [1, n], равное сумме всех сопротивлений, находящихся в его ветвях;
Rlp – общее сопротивление контуров l и p , равное сумме всех сопротивлений, находящихся в ветвях, являющихся общими для контуров l и p ;
elj – j-э.д.с., находящаяся в ветвях контура l ;
ml – общее количество э.д.с., находящихся во всех ветвях контура l.
При составлении этих уравнений собственные сопротивления Rll контуров являются всегда положительными; общие сопротивления Rlp берутся положительными, если направления контурных токов Il и Ip в них совпадают по направлению, и отрицательными – при противоположном направлении контурных токов; слагаемые в правой части уравнений берутся положительными, если соответствующие э.д.с. совпадают по направлению с контурным током, и отрицательными – в противном случае.
Путем совместного решения контурных уравнений определяются все контурные токи. После этого находятся токи в ветвях как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.
В рассматриваемой схеме Nв = 5, Ny = 3 и количество главных контуров равно n = Nв – (Ny – 1)=5 – (3 – 1) = 3 (см. рис. 5,б). Выберем направления контурных токов I1, I2, I3 (рис. 5,г) и составим контурные уравнения
(контур I)
(контур II)
(контур III)
Подставляя числовые значения сопротивлений и э.д.с. (см. п. 1.2.1), получим систему уравнений
400I1 – 300I2 = 2
–300I1 + 850I2 – 500I3 = 10
–500I2 + 1500I3 = – 30.
Решая эту систему уравнений, можно получить
I1 = 0,00745; I2 = 0,00327; I3 = – 0,0189.
Выберем направления токов в ветвях (см. рис. 5,г) и найдем их значения
i1 = I1 = 0,00745 A = 7,45 mA;
i2 = I2 – I3 = 0,00327 – (–0,0189) = 0,0221 A = 22,1 mA;
i3 = –I3 = –(–0,0189) = 0,0189 A = 18,9 mA;
i4 = I2 = 0,00327 A = 3,27 mA;
i5 = I1 – I2 = 0,00745 – 0,00327 = 0,00418 A = 4,18 mA.
Таким образом, с помощью всех трех методов найдены токи в ветвях рассматриваемой схемы, совпадающие по величине и направлению. При этом методы узловых потенциалов и контурных токов обеспечивают более простое решение задачи по сравнению с расчетом схемы на основании законов Кирхгофа.
Выбор метода для расчета электрической схемы осуществляется в зависимости от ее вида:
– если количество ее узлов меньше числа главных контуров, то целесообразно использовать метод узловых потенциалов;
– если количество ее главных контуров меньше числа узлов, то целесообразно использовать метод контурных токов.