2.1 Допустимое множество

Множество векторов x, удовлетворяющих всем ограничениям, называется допустимым.

У любой задачи ЛП допустимым множеством является:

1)пустое множество

2)бесконечный многогранник

3)конечный многогранник

2.2 Существование решения

Задача ЛП не имеет решения в случае пустого допустимого множества либо неограниченного допустимого множества – если целевая функция неограниченна на этом множестве. В остальных случаях у задачи ЛП есть решение.

2.3 Активность ограничения

Ограничение-равенство всегда активно (всегда работает), т.е. любая точка допустимого множества стала бы недопустимой, если б хоть немного изменилось ограничение-равенство. ВАЖНО: недопустимой стала бы и точка, которая при «старом» значении правой части (параметра) ограничения была решением задачи! Следовательно, как угодно малое изменение величины правой части ограничения-равенства меняет все допустимое множество, меняет оптимальную точку и значение оптимума. Это и означает, что ограничение работает.

Ограничение-неравенство работает (ограничение активно) лишь в тех точках, где оно превращается в равенство. Если решение задачи достигается во внутренней точке допустимого множества (в точке, где ограничение выглядит как СТРОГОЕ неравенство), то всегда можно найти изменение правой части столь малое, что точка решения останется допустимой и останется решением задачи. Изменение правой части неравенства не меняет решения в этом случае – там где ограничение носит характер строгого неравенства, ОГРАНИЧЕНИЕ НЕ РАБОТАЕТ.

В угловой точке (в вершине) всегда работают столько ограничений, сколько у нас переменных. Это означает, что в ситуации – n переменных и k ограничений-равенств – в такой ситуации ровно n – k неравенств должны быть активны в угловой точке (обратиться в равенства). В случае ОЗЛП, когда неравенства представлены только требованиями неотрицательности, это означает, что в вершине ровно n – k переменных станут равными нулю. Переменные, обратившиеся в нуль, называются небазисными, остальные – базисными.

2.3 Принцип вершины

Поскольку градиент целевой функции в задачах ЛП есть постоянный вектор, то ни во внутренней точке всего множества, ни во внутренней точке грани максимума быть не может – всегда возможно движение вдоль градиента или вдоль проекции градиента. Поэтому решение, если оно существует, всегда вершина. Вершина (угловая точка) допустимого множества называется допустимый опорный план

Отсюда центральная идея алгоритма симплекс метода – мы должны найти вершину допустимого множества, просмотреть все соседние вершины и перейти в ту, которая обеспечивает максимальный прирост целевой функции.

2.4 Симплекс – метод

2.4.1.Формирование базиса

Прежде всего, формируем матрицу задачи, каждая строка матрицы отвечает одному ограничению, а последняя строка содержит коэффициенты целевой функции(целевая строка), каждый столбец матрицы отвечает одной переменной. Используя процедуру Гаусса, строим базис – такой набор столбцов (переменных), в каждом из которых одна единица, а все остальные – нули. При этом базисных столбцов (базисных переменных) столько, сколько строк в матрице. Каждой строке матрицы отвечает тот из базисных столбцов, у которого в этой строке единица. Если матрица получилась преобразованием из симметричной задачи, базис есть с самого начала.

Значение любой базисной переменной равно правой части той строки, в которой у базисного столбца единица(такая строка одна) Все небазисные переменные равны нулю. Следовательно построение базиса эквивалентно нахождению угловой точки (имеем k ограничений-равенств, кроме того, n-k небазисных переменных равны 0, значит n-k неравенств x_i ≥0 стали равенствами x_i =0, итого n равенств в n–мерном пространстве описывают точку-вершину).

Если в процессе построения базиса обнаружилась строка с отрицательной правой частью и в этой строке нет отрицательных коэффициентов – задача не имеет решения.

2.4.2 Выбор нового базисного столбца

Новый базисный столбец (новая ненулевая переменная) выбирается из тех небазисных столбцов, у которых коэффициент в целевой строке больше нуля; если таких столбцов нет – задача решена.

Далее для каждого из таких столбцов вычисляем длину шага.

Для этого каждый элемент столбца правых частей делят на соответственный элемент проверяемого столбца, из всех положительных отношений выбирают самое малое – это и есть длина шага.

Тот элемент проверяемого столбца, на котором достигается наименьшее положительное отношение, называется ведущим элементом столбца.

После того, как для всех подходящих столбцов (у них положительные числа в целевой строке) определили длину шага, вычисляют произведение длины шага на коэффициент в целевой строке для всех новых кандидатов в базисные переменные.

Это произведение равно возможному приросту целевой функции при условии, что данная переменная из небазисной (нулевой) станет базисной (получит ненулевое значение, равное длине шага).

Новым базисным столбцом (и, соответственно, новой базисной переменной) будет тот, кто обеспечивает наибольший прирост целевой функции.

Новый базисный столбец с помощью шага процедуры Гаусса превращаем в базисный (одна единица, остальные нули) причем единицей в новом базисном столбце становится ведущий элемент этого столбца(остальные станут нулями).

Процедура продолжается до тех пор, пока в самой нижней строке (строке целевой функции) остаются положительные элементы.