8.2.2. Типы грамматик

В этом пункте рассмотрим грамматики, являющиеся част­ным случаем (8.2.1). Все эти грамматики имеют форму G=(V_N, V_T, P. S) и различаются лишь по типу правил подста­новки, допустимых в каждой из них').

Неограниченная грамматика характеризуется правилами подстановки α→β, где α—цепочка алфавита V⁺ а β—цепочка алфавита V*.

Грамматика непосредственно составляющих характеризуется правилами подстановки вида α₁Aα₂ → α₁βα₂ ,где α₁ и α₂—эле­менты алфавита V^*, β принадлежит V⁺, а А принадлежит V_N. Эта грамматика допускает замещение нетерминального символа А цепочкой β только в том случае, если А появляется в контек­сте α₁Aα₂, составленном из цепочек α₁ и α₂.

-------------------------------

') Наряду с приведенными ниже в отечественной литературе встречаются также следующие термины:

а) неограниченная грамматика—обобщенная грамматика;

б) грамматика непосредственно составляющих — грамматика составляю­щих, НС-грамматика, грамматика контекстная;

в) бесконтекстная грамматика — контекстно-свободная грамматика, КС-грамматика;

г) регулярная (автоматная) грамматика — грамматика конечно-автомат­ная, грамматика с конечным числом состояний. Английские эквиваленты этих терминов приведены в предметном указателе в конце книги.—Прим. перед.

-------------------------------

8.2. Понятия теории формальных языков

Бесконтекстная грамматика характеризуется правилами под­становки вида А—>β, где А принадлежит множеству V_N и β при­надлежит множеству V+. Само название «бесконтекстная» ука­зывает на то, что переменная A может замещаться цепочкой β независимо от контекста, в котором появляется А.

Наконец, регулярная (или автоматная) грамматика — это грамматика с правилами подстановки вида А —>aB или А—>a, где А и В—переменные из V_N, а—терминальный символ из V_T. Альтернативными допустимыми правилами подстановки яв­ляются А —>Bα и А—>а. Выбор одного из этих двух типов пра­вил исключает, однако, применение правил другого типа.

Эти грамматики называют иногда грамматиками типа 0, 1, 2 и 3 соответственно. Кроме того, их часто обозначают как грамматики структуры составляющих.

Если каждое правило подстановки бесконтекстной грамма­тики имеет вид

A—>xBw или A -> w, где A и В—нетерминаль­ные символы, а х и w—терминальные цепочки, то грамматика считается линейной.

Интересно отметить, что все регулярные грамматики бесконтекстны, все бесконтекстные грамматики являются граммати­ками непосредственно составляющих, а все грамматики непо­средственно составляющих — неограниченны.

Пример. Способы функционирования обсуждаемых грамма­тик показаны на следующих простых примерах грамматик.

(а) Неограниченная грамматика

G=(V_N, V_t, P, S)

при

V_N ={S, А, В}, V_t = { a, Ь, с}

Р: S —> аAbc

Аb —> bA

Ac —> Bbcc

bB —> Bb

аB —> ааA

аB —> s₀

порождает предложения вида х= aⁿЬⁿ⁺²c ⁿ⁺², где п>=0 озна­чает длину цепочки символов. Например, для порождения це­почки х = a⁰b²c² = ЬЬсс мы применяем первые четыре правила и затем последнее, т, е,

S => аAbc => аbAc => аb Bbcc => аBbbcc =>bbcc.

Заметим, что последнее правило допустимо лишь в неограничен­ных грамматиках.

(б) Грамматика непосредственно составляющих

G=(V_N, V_t, P, S)

при

V_N ={S, А, В}, V_t = { a, Ь, с}

Р: S —> аbc

S —> аAbc

Аb —> bA

Ac —> Bbcc

bB —> Bb

аB —> ааA

аB —> аа

порождает предложения вида х = а ^п с ^п где п>= I

(в) Бесконтекстная грамматика

G=(V_N, V_t, P, S)

при

V_N ={S }, V_t = { a, Ь }

Р: S —> аb

S —> аSb

порождает цепочки вида х = а ^пb ^п где п>= 1,

(г) Регулярная грамматика

G=(V_N, V_t, P, S)

при

V_N ={S }, V_t = { a, Ь }

Р: S —> а

S —> b

S —> аS

S —> bS

порождает цепочки, состоящие из символов а и Ь.

Как и предполагалось, неограниченные грамматики обла­дают значительно большей мощностью, чем грамматики трех остальных типов. Однако степень общности этих грамматик создает ряд серьезных трудностей в их теоретических и прак­тических приложениях. Это утверждение верно и для грамматик непосредственно составляющих.

Хотя в литературе часто встречаются и другие грамматиче­ские структуры, грамматики, представленные здесь, составляют основу для большей части исследований в этой области. В сле­дующих разделах речь будет идти о расширении этих понятий и их приложении к распознаванию образов.